Дискретно-непрерывная математика (стр. 120 )

Пусть дискриминант квадратичной формы не равен нулю.

Тогда уравнение (2.3) имеет конечные, отличные от нуля, простые корни

(2.4)

Подвергнем теперь матрицу (2.2) операциям

В результате получим каноническую матрицу (І), которой будет экви­валентна в поле комплексных чисел матрица А при сделанных нами пред­положениях. В поле вещественных чисел эквивалентность будет иметь место, если дискриминант ∆ двойничной линейно-квадратичной формы F (см. упраж­нение 1 § 4 гл. III), ассоциированной с матрицей А, — отрицательный и, следовательно, Если же тои для нахождения эквивалентной канонической матрицы подвергаем матрицу (2.2) операциям

в результате которых получим каноническую матрицу

Пусть теперь дискриминант — δ равен нулю, т. е.

Совершая тогда над матрицей (2.2) операции

придем к канонической матрице (ІІ), которой будет, таким образом, экви­валентна матрица А как в поле комплексных, так и в поле вещественных чисел.

Если же в матрице (2.2) элемент равен нулю, то после надлежащих преобразований получаем каноническую матрицу (І).

В случае, когда только один из элементов матрицы (2.1) отличен от нуля, мы приходим, как легко убедиться, в поле комплексных или вещественных чисел к канонической матрице (І), если. или к канонической матрице (І) в поле комплексных чисел и к одной из кано­нических матриц в поле вещественных чисел, если В212 ≠0.

Наконец, в случае, когда но матрица (2.1) очевидными операциями приводится в поле комплексных чисел к канони­ческому виду а в поле вещественных чисел к одному из канониче­ских видов

При матрица (2.1) имеет канонический вид (IV) как в поле комплексных, так и в поле вещественных чисел. Если мы теперь обратимся к приведению кубической матрицы 2-го порядка, симметрической относительно индексов или то получим канонические виды и соответственно или

Составляя, далее, матрицы (3.1) и (3.3) гл. III для всех полученных канонических матриц, мы можем воспользоваться таблицей I § 1, дополнив ее следующим образом.

Таблица I

Арифметические инварианты канонических матриц указаны в таблице ІІ. Из таблицы II видим, что среди канонических матриц нет эквивалентных ни в поле комплексных, ни в поле вещественных чисел и что ни одна из этих матриц не эквивалентна в поле вещественных чисел ни одной из канонических матриц среди которых также нет эквивалентных. Теорема доказана.

Таблица II

Замечание 2.1. Если кубическая матрица 2-го порядка А, сим­метрическая относительно какой-нибудь пары индексов, и одна из канони­ческих матриц эквивалентны (в обычном смысле) в поле комплексных или вещественных чисел, то А и любая из этих канонических матриц g-эквивалентны в том же поле. Аналогичное замечание относится к каноническим матрицам

Аналогом доказанной теоремы является

Теорема 2.2. Всякая двойничная линейно-квадратичная форма, не равная тождественно нулю, g-эквивалентна в поле комплексных чисел одной и только одной из следующих канонических форм:

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

В поле вещественных чисел к каноническим формам, кроме указанных выше, относятся также формы

(2.5')

(2.7')

Приняв во внимание таблицу I § 1, дополненную таблицей І настоя­щего параграфа, получим для каждой канонической формы полную систему комитантов (см. упражнение 4 § 4 гл. III), сведенных в следующей таблице.

Таблица III

2. Рассматривая двойничную линейно-квадратичную форму с соответ­ствующей кубической матрицей А, симметрической относительно какой-либо пары индексов, мы будем обозначать ее двумерные ранги через r' и r", считая r" рангом по любому из индексов пары, а r' — рангом по треть­ему индексу. Аналогично этому для трехмерных рангов введем обозначе­ния Две совпадающие из матриц будем обозначать через A" и третью из них —через A', а ранги и сигнатуры их — соответ­ственно через

Ассоциированные с этими матрицами квадратичные формы пусть будут Н" и Н'.

Пользуясь этими обозначениями, мы можем провести следующую g-классификацию двойничных линейно-квадратичных форм.

В комплексной области различаем, прежде всего, неособенные фор­мы, у которых дискриминант ∆ не равен нулю, т. е. вторичные ранги (или rB) равны 2, и особенные формы, у которых т. е. упомянутые выше вторичные ранги меньше, чем 2. Представителем неосо­бенных форм является каноническая форма (2.5). Среди особенных форм выделяем те, которые не равны тождест­венно нулю, т. е. те, у которых двумерные ранги (или трехмерные ранги отличны от нуля, и формы, тождественно равные нулю, у которых эти ранги — нули. Далее, особенные формы, не равные тождественно нулю, делим на два рода.

I) Формы, разлагающиеся в произведение двух форм — линейной (относительно одного из двух рядов перемен­ных) и билинейной (относительно обоих рядов перемен­ных), представителем которых является каноническая форма (2.6) и у кото­рых оба коварианта II′, II" (или Q) не равны тождественно нулю, т. е. оба вторичных ранга (или rB) равны 1.

II) Формы, разлагающиеся в произведение трех линей­ных форм: одной, линейной относительно одного из двух рядов переменных, и двух, линейных относительно дру­гого ряда переменных. У форм этого рода ковариант II" (или Q) тождественно равен нулю, т. е. (или

Наконец, среди форм II рода различаем два вида форм в зависимо­сти от того, будут ли упомянутые выше две линейные формы линейно независимы или зависимы. Представителями форм этих двух видов явля­ются канонические формы (2.7) и (2.8). У форм первого вида ковариант Н' но равен тождественно нулю, т. е. 1, тогда как у форм второго вида т. е.