Дискретно-непрерывная математика (стр. 69 )

Пример 6. Стабилизация по выходу двухзвенного перевернутого маятника с помощью наблюдателя Люенбергера: объект описывается уравнениями (см. также пример 5)

Синтезируем динамический регулятор по выходу третьего порядка на основе наблю­дателя Люенбергера.

В данном случае

Представим

Решение линейных матричных неравенств (49) дает следующие результаты

откуда находим

Таким образом, искомый регулятор описывается уравнениями

и матрица замкнутой системы имеет собственные значения

лежащие слева от мнимой оси.

23.6.5. Стабилизация дискретных объектов

Рассмотрим дискретный управляемый объект

(50)

в котором- состояние, - управление, - измеряемый выход. Требуется построить линейный динамический регулятор k-го порядка вида

(51)

где - состояние регулятора, обеспечивающий асимптотическую устойчивость замкнутой системы (50), (51).

Представим уравнение замкнутой системы (50), (51) в виде

где Переформулируем цель управления в виде существования квадратичной функции Ляпунова такой, что по любой

траектории замкнутой системы имеет место

Это условие эквивалентно следующему матричному неравенству

которое с учетом леммы А.2 представимо в виде

(52)

Вводя матрицу параметров регулятора

и представляя матрицу замкнутой системы в виде

перепишем неравенство (52) в виде линейного матричного неравенства относительно неизвестных параметров Θ

(53)

в котором

(54)

Так как в этом случае

то, применяя утверждение 23.4.2, приходим к справедливости следующего.

Утверждение 9. Дискретный объект (50) стабилизируем с помощью регулятора по выходу (51) заданного порядка тогда и только тогда, когда существует -матрица удовлетворяющая следующим условиям:

(55)

Если условия (55) выполнены и такая матрица X найдена, то параметры искомого регулятора (51) находятся как решения линейного матричного неравенства (53).

Введем матрицуи перепишем условия (55) в виде линейных матричных неравенств относительно матриц X и Y:

(56)

Тогда рассматриваемая задача сводится к поиску взаимнообратных матриц X и Y (XY = I), удовлетворяющих неравенствам (56), т. е. к задаче А, сформулирован­ной выше.

Так как

и матрицы максимального ранга и должны удовлетворять уравнениям и соответственно, то непосредственно проверяется, что можно взять

Тогда с учетом блочной структуры матрици соответствующего блочного представления матриц X и Y в виде

неравенства (56) приводятся к виду

(57)

Таким образом, задача синтеза регуляторов по выходу для дискретных объектов может быть также сведена к сформулированной выше задаче В: найти две)-матрицы

удовлетворяющие линейным матричным неравенствам (57) и

и условию

или установить, что таких матриц не существует.

Для статического регулятора по выходу в уравнениях регулятора (51) имеем и, следовательно,

В этом случае неравенство (52) примет вид (53), где

Тогда условия стабилизируемости (55) примут вид

где X - матрица порядкаи формулировка задачи А совпадает с формулировкой задачи В.

В частности, когда состояние объекта полностью измеряется, т. е. С =I и rank (0 С) = пх, неравенство (52) примет вид (53), в котором

Условия стабилизируемости (55) в этом случае сводятся к выполнимости двух нера­венств

(58) первое из которых даета второе по лемме Шура эквивалентно неравенству

Таким образом, с учетом утверждения 23.4.2 получим, что объект (50) стабилизируем по состоянию тогда и только тогда, когда неравенство

разрешимо относительно положительно определенной матрицы

23.7. Модальное управление

Задача модального управления связана с построением регулятора, при котором по­люса замкнутой системы располагаются в заданных точках или заданных областях комплексной плоскости. Значения таких характеристик замкнутой системы как время переходного процесса, демпфирование, скорость переходных процессов в регуляторе и других определяются расположением собственных значений матрицы замкнутой систе­мы в определенных областях комплексной плоскости. Здесь мы будем рассматривать задачи модального управления относительно таких областей, которые могут быть ха­рактеризованы системой линейных матричных неравенств - такие области в дальней­шем будем называть LMІ-областями. Мы увидим, что к этим областям относятся вертикальные и горизонтальные полосы, круги, конические секторы, а также пересечения таких областей.

23.7.1. LMI-области

Пусть D - некоторая область левой комплексной полуплоскости. Динамическую систе­мубудем называть D-устойчивой, если все ее полюса, т. е. все собственные значения матрицы А, лежат в области D. В этом случае матрицу А также будем на­зывать D-устойчивой. В частном случае, когда D совпадает со всей левой комплексной полуплоскостью, D-устойчивость сводится к асимптотической устойчивости, которая характеризуется неравенством Ляпунова, являющимся линейным матричным неравен­ством. А именно, матрица А асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда существует симметрическая матрица X, удовлетворяющая неравенствам