Дискретно-непрерывная математика (стр. 70 )

(1)

Определим класс областей, которые характеризуются в терминах линейных матрич­ных неравенств. Для этого введем в рассмотрение матричные функции комплексного переменного, принимающие значения в пространстве эрмитовых (т × т)-матриц

(2)

где

Определение. Область

(3)

будем называть LMІ - областью, порождаемой функцией

Из этого определения следует, что LMІ-область - это подмножество комплексной плоскости, которое представимо линейным матричным неравенством относительно пе­ременных и Следовательно, LMІ-области - выпуклые. Кроме того, так как для любого имеет место

то LMІ - области симметричны относительно действительной оси.

Самое существенное свойство LMІ - областей состоит в том, что они полностью опре­деляются в терминах линейных матричных неравенств относительно симметрической положительно определенной матрицы. Для того, чтобы написать эти неравенства, по­ставим в соответствие функции следующую -блочную матрицу

(4)

блоки которой, используя операцию кронекерова произведения (см. Приложение F), можно записать в виде

Отметим, что в (4) и в (2) связаны подстановкой

Утверждение 1. Пусть D - LMI-область. Тогда матрица А является D-устойчивой, если и только если существует матрица удовлетворяющая линейным матричным неравенствам

(5)

Доказательство. Достаточность. Пусть и v - собственное значение и соответству­ющий ему левый собственный вектор матрицы А, то есть Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что

Так как по условию левая часть этого равенства - отрицательно определенная матрица и то отсюда следует т. е.

Необходимость. Приведем, ради простоты, доказательство только для диагональной матрицы собственные значения которой лежат в области D. Распространим область определения функции на множество комплексных матриц

А и эрмитовых матрих

Непосредственно проверяется, что

где U - матрица перестановок. Так как по условию то отсюда следует, что при X = I.

Рассмотрим несколько примеров. В качестве первого примера LMІ - области возьмем множествокоторое соответствует асимптотически устойчивым системам со степенью устойчивости не меньшей μ. Очевидно, что эту область порождает функция и согласно утверждению 1 матрица А является асимптотически устойчивой со степенью устойчивости не меньшей μ, тогда и только тогда, когда существует удовлетворяющая линейным матричным неравенствам

(6)

Другой пример LMІ-области - - внутренность круга радиуса rс центром в точке Для этой области

и линейные матричные неравенства (5), характеризующие эту область, принимают вид

(7) Вертикальной полосе отвечает функция

и, соответственно, линейные матричные неравенства

а горизонтальной полуполосе - функция

и линейные матричные неравенства

Наконец, коническому сектору соответствует функция

и линейные матричные неравенства

(8) Отметим важное свойство LMІ - областей - они замкнуты относительно операции пересечения, т. е. пересечение LMІ - областей - LMІ - область. Действительно, пересече­ниедвух данных LMІ - областей D1 и D2 с функциямипорождается функцией

и, следовательно,

Таким образом, условие того, что собственные значения матрицы А одновременно при­надлежат двум заданным LMІ-областям D1 и D2, выражается в терминах одной матри­цы X, удовлетворяющей системе линейных матричных неравенств. А именно, матрица А является одновременно D1-устойчивой и D2-устойчивой тогда и только тогда, когда существует для которой и

23.7.2. Синтез модального управления

Покажем теперь, как синтез модального управления по состоянию для заданной LMI-области сводится к решению линейных матричных неравенств. Пусть объект описыва­ется уравнением

(9)

где - состояние объекта. - управление. Задача состоит в выборе закона управления из класса линейных обратных связей по состоянию вида

(10)

где Θ - матрица параметров регулятора соответствующего порядка, при котором матри­ца замкнутой системы (9), (10) будет D-устойчивой, т. е. все ее собственные значения лежат в заданной LMІ - области.

Согласно утверждению 1 задача сводится к нахождению матриц и Θ, удовлетворяющих неравенству Обозначаяпредставим последнее неравенство как линейное матричное неравенство