Дискретно-непрерывная математика (стр. 141 )

Рис. 31.

Случай II, когда

Подвергаем тогда пучок матриц симметрическим элементарным преобразованиям (вещественным в случае поля вещественных чисел), приводящим матрицу А формы f к каноническому виду (ІІ) (гл. IV, § 3).

В результате получим матрицу вида

(1.27)

Порождаемые ею кубические миноры 2-го порядка представляются выражениями

Следовательно, число элементарных делителей матрицы (1.27) равно 1 или 0.

B первом случае b≠0 и после легких преобразований матрицы (1.27) приходим к матрице вида (рис. 32).

Рис. 32.

Так как матрица (VI) имеет также один элементарный делитель, то порождаемые ею кубические миноры 2-го по­рядка

должны делиться начто возможно лишь при условии

(1.28)

Полагая будем иметь тогда единственный элементарный делитель матрицы (VI), который при будет двукратным делителем соответствующего дискриминанта

имеющего также простой двучленный делитель(другой простой делитель μ - одночленный).

Из указанных выше выражений для т и т1 находим:

, (1.29)

(Здесь, не нарушая общности, можем ограничиться положительным значением квадратного корня.)

(1.30)

Таким образом, при имеем каноническую матрицу (VI), которой п, р, с определяются формулами(1.28), (1.29), (1.30). Ее харак­теристика

Приимеем согласно предыдущим формулам каноническую матрицу (рис. 33), где есть элементарный делитель этой матрицы и трехкратный делитель соответствующего дискриминанта

Рис. 33

Характеристика матрицы (VII) есть [1].

Если т = 0, то приполучаем каноническую матрицу (рис. 34)

с единственным элементарным делителем λ, который будет двукратным делителем соответствующего дискриминанта

имеющего также единственный двучленный делитель

Рис. 34.

Характеристика матрицы (VIII) есть .

В поле вещественных чисел канонические матрицы (VI), (VII), (VIII) также имеют место, если относительный инвариант L1 пучка (1.1) (коэф­фициент при в разложении дискрими­нанта пучка) —отрицательный (гл. III, замечание 5.7). В противном случае матрица (1.27) очевидными веще­ственными операциями приводится к кано­нической матрице (рис. 35), где

(1-28')

(1.29')

(1.30′)

Рис. 35.

Матрица (VI'), где имеет единственный элементарный делитель который при будет двукратным, а простым дву­членным делителем (другой простой делитель μ — одночленный) соответ­ствующего дискриминанта

Характеристика матрицы (VI') есть [1].

Приимеем каноническую матрицу (рис. 36) с единственным элементарным делителем являющимся также трехкратным делителем соответствующего дискриминанта

Характеристика матрицы (VII') есть [1].

Рис. 36.

Если т = 0, то приполучаем каноническую матрицу (рис. 37)

с единственным элементарным делителем λ, который будет двукратным дели­телем соответствующего дискриминанта

имеющего также единственный двучленный делитель Характеристика матрицы (VIII') есть

Рис. 37.

В случае, когда элементарных делителей у матрицы (1.27) нет, т. е. ее характеристика — [0], различаем два варианта, смотря по тому, будет ли или

Вариант 1:

Тогда и матрица (1.27) после очевидных операций принимает вид (рис. 38).

Рис. 38.

Соответствующий дискриминант равен

где

Отсюда находим:

(1.31)

Если у дискриминанта есть простые делители, т. е. то мы имеем каноническую матрицу (IX), у которой и т определяются формулами (1.31). Если же дискриминант имеет только двукратные делители, т. е. т1 = т2, то п — 0. Тогда каноническая матрица принимает вид (рис. 39), гдеесть двукратный делитель дискриминанта отличный от другого двукратного делителя его μ.

Рис. 39.

Отметим, что относительный инвариант L1, составленный для матрицы (IX) или (X), равен нулю.

Вариант 2:

Тогда, как и в случае характеристики [1], приходим к матрице вида (VI), для которой, однако, условие (1.28) уже не выполняется.

Выражение соответствующего дискриминанта

показывает, что у него, кроме ц, имеются еще три делителя вида