Дискретно-непрерывная математика (стр. 75 )

п-го порядка, может быть представлена в виде (р — т+1)-мерной матрицы того же порядка, которая и будет трансверсальным сечением р—m+l изме­рений, соответствующим ориентации Число такого рода се­чений равно (п!)т-1. Среди них находятся 2т-1 диагональных сечений р — т+1 измерений. То из них, которое состоит из элементов с одинаковыми значени­ями индексов называется главным, а остальные—побочными. Так, в четырехмерной матрице 2-го порядка (1.4) имеем два трехмерных трансверсальных сечения, соответствующих ориентации

Первое из них является также главным, а второе—побочным трехмерным диагональным сечением, соответствующим той же ориентации

5. Пространственная матрица, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной, если среди элементов главной диагонали имеются отличные от нуля, и нулевой — в про­тивном случае, когда все элементы матрицы — нули. Нулевую матрицу в дальнейшем будем обозначать через О.

6. Пространственная матрица называется симметрической относительно двух индексов, если каждые два элемента ее, получающиеся один из другого перестановкой этих индексов, одинаковы. Так, кубическая матрица (1.2) бу­дет симметрической относительно последних двух индексов j, k, если

Одинаковые элементы такой матрицы симметрично расположены по отноше­нию к главному диагональному сечению, соответствующему направлению (i). Кубическая матрица 2-го порядка, симметрическая относительно индексов - j, k, имеет вид

Пространственная матрица называется симметрической относительно нескольких индексов, если она симметрическая относительно любой пары из них. Если симметрия имеет место по отношению ко всем индексам, то матрпцу будем называть просто симметрической. Так, кубическая матрица (1.2) будет симметрической, если

У такой матрицы одинаковые элементы расположены симметрично относитель­но главной диагонали. Симметрическая кубическая матрица 2-го порядка имеет вид рис. 3.

Рис. 3.

Пространственная матрица называется кососимметрической относительно двух индексов, если каждые два элемента ее, получающиеся один из другого перестановкой этих индексов, отличаются друг от друга только знаком. Та­ким образом, кубическая матрица (1.2) будет кососимметрической относи­тельно последних двух индексов j, k, если Отсюда вытекает, что элементы этой матрицы с одинаковыми значениями индексов j, k равны нулю. Элементы, отличающиеся друг от дру­га только знаком, симметрично расположены по отношению к главному диагональному сечению, соответствующему направлению (i). Это диагональ­ное сечение целиком состоит нз нулей. Кубическая матрица 2-го порядка, кососимметрическая отно сительно индексов j, k, имеет вид

Пространственная матрица называется кососимметрической относительно нескольких индексов, если она кососимметрическая относительно любой пары из них. Если косая симметрия имеет место по отношению ко всем индексам, то матрицу будем называть просто косо­симметрической. Элементы кососиммет­рической матрицы, у которых не все ин­дексы имеют различные значения, оче­видно, равны нулю. Таким образом, куби­ческая матрица (1.2) будет кососиммет­рической, если

Элементы ее, отличающиеся друг от дру­га только знаком, симметрично распо­ложеныотносительно главной диагонали, и все три главных диагональных сечения, соответствующие направлениям целиком состоят из нулей. Кососимметрическая кубическая матрица 2-го порядка—нулевая, а 3-го порядка имеет вид рис. 4.

Рис. 4.

7. Матрицу, получающуюся из пространственной матрицы

путем обмена значениями двух каких-нибудь индексов, например i1 и i2, во всех ее элементах, будем называть транспонированной относительно А по этим индексам. Обозначим ее символом Элементы такой матрицы связаны с элементами исходной матрицы А соотношениями

Так, например, матрицы транспонированные по двум индексам относительно кубической матрицы 2-го порядка (1.1), имеют соответ­ственно вид рис. 5.

Рис. 5.

Матрицу

элементы которой связаны с элементами упомянутой выше матрицы А соот­ношениями

где — какая-нибудь перестановка из индексов будем называть транспонированной относительно А соответственно подста­новке Эту матрицубудем обозначать также символом

Таким образом, матрицы транспонированные относительно кубической матрицы 2-го порядка (1.1) соответственно циклическим подста­новкам имеют вид рис. 6.

Рис. 6.

Число всех матриц, транспонированных относительно данной р-мерной матрицы А, включая и матрицу А, которую можно рассматривать как транспонированную соответственно тождественной подстановке очевидно, равно р!. Если матрица А — симметрическая (кососимметрическая) относительно т каких-либо ее индексов где то транспонированная матрица

где — какая-нибудь перестановка из индексов совпадает с А (совпадает с А, если подстановка — четная, или отличается от А только знаками соответствующих элементов, если эта подстановка — нечетная).

8. Выяснив структуру пространственной матрицы, перейдем к установ­лению понятия о ее детерминантах.

Начнем с простейшего случая, когда дана кубическая матрица п-го порядка (1.2). Возьмем в этой матрице какую-нибудь трансверсаль

(1.6)

где значения

(1.7)

индекса i, а также значения

(1.8)

(1.9)

остальных индексов j, k образуют некоторые перестановки из чисел 1,2, . . ., п. Составим из элементов трансверсали (1.6) произведение

(1.10)

Если мы перегруппируем множители в этом произведении, представляя его, например, в виде

(1.10')

где

(1.11)

— некоторая перестановка из чисел 1, 2, ..., п, то перестановки

(1.7')

(1.8')

(1.9')

из значений индексов i, j, k в элементах трансверсали, входящих в произве­дение (1.10'), в зависимости от четности перестановки (1.11) имеют одновре­менно четности, либо совпадающие с четностями соответственных перестано­вок (1.7), (1.8), (1.9), либо им противоположные. Так как числовое поле Р, над которым рассматривается матрица (1.2), коммутативно, то произведения (1.10) и (1.10'), отличающиеся друг от друга только порядком множителей, одинаковы. Однако коммутативность умножения может быть нарушена, если к произведению элементов трансверсали присоединить дополнительный мно­житель ( —1)N, где N—целое число, известным образом зависящее от поряд­ка множителей в этом произведении.