Дискретно-непрерывная математика (стр. 59 )

(I)

где - матрицы соответствующих порядков, зависящие от исходных данных, причем симметрическая матрица Ψ зависит также от неизвестной матрицы X функции Ляпунова. Это неравенство имеет непустое множество решений тогда и только тогда, когда выполнены два неравенства

(II)

в которых столбцы матрипобразуют базисы ядер матриц Р и Q соответственно. Последние два неравенства уже не содержат переменных Θ, и для регуляторов по состоянию или регуляторов по выходу полного порядка (когда порядок регулятора сов­падает с порядком объекта) эти неравенства являются линейными матричными нера­венствами относительно матрицы X. Таким образом, исходная задача разделяется на две задачи: сначала находится матрица X, удовлетворяющая линейным матричным неравенствам (II), а затем найденная матрица подставляется в линейное матричное неравенство (I) и находятся параметры регулятора Θ.

В более сложных случаях, когда состояние объекта не измеряется и строится ре­гулятор по выходу пониженного порядка (когда порядок регулятора меньше порядка объекта), одна из матриц Р или Q также зависит от матрицы X, и это приводит к тому, что соответствующие неравенства (II) содержат как матрицу X, так и обратную к ней матрицуТеперь эти неравенства оказываются линейными матричными неравенствами относительно двух взаимнообратных матриц X и Y, и задача сводится к оптимизации некоторой невыпуклой функции при ограничениях, задаваемых линейны­ми матричными неравенствами. Указанное обстоятельство принципиальным образом усложняет синтез регуляторов, так как отсутствуют регулярные методы оптимизации невыпуклых функций. К настоящему времени разработаны различные алгоритмы чис­ленного решения данной задачи. Во многих практически важных случаях удается осуществить требуемый синтез, хотя ни один из известных алгоритмов не гарантирует решения любой задачи.

При изложении нижеследующего материала ипользовался труд и «Применение линейных матричных неравенств в синтезе законов управления», которые ставили перед собой задачу познакомить чи­тателя с одним из направлений теории управления, которое в основном развивалось не в России, хотя фундамент этой теории был заложен в СССР в трудах и . С этой целью авторы систематизировали обширный ма­териал, содержащийся в зарубежных журнальных публикациях, привели собственные доказательства некоторых утверждений и собственные результаты, а также проиллю­стрировали предлагаемые процедуры синтеза регуляторов на многочисленных приме­рах управления механическими системами.

23.2. Определения и свойства

Линейным матричным неравенством называется неравенство относительно неизвест­ных переменных следующего вида

(1)

в котором - действительные симметрические матрицы размера п× п, т. е.

Знак > 0 означает положительную определенность матрицы в левой части неравенства, т. е.

Условие положительной определенности матрицы F(x) может быть эквивалентно выра­жено в видегде обозначает собственное значение соответствующей матрицы.

В линейном матричном неравенстве 0 функция F(x) является аффинной (в связи с этим выражениюбыл бы более адекватен термин "аффинное матричное неравенство") и отображает конечно-мерное векторное пространство в множество

действительных симметрических матриц.

Пусть имеется аффинное отображение

(2)

где и- линейное отображение а Тогда, выбирая базис вможем записать

где

и неравенство примет вид (1).

В приложениях часто встречаются линейные матричные неравенства, записанные относительно матричных переменных. Таковым, например, является неравенство

(3)

в котором- заданные матрицы, а- неизвестная матрица.

Заметим, что это неравенство будет линейным матричным неравенством только в слу­чае симметрической матрицы Q. В этом случае векторное пространствосовпадает с пространством Sn симметрических (п × п)-матриц или с изоморфным ему евклидовым пространством где Выбирая в этом пространстве базис и записывая представим это неравенство в виде

т. е. в виде (1). Например, неравенство (3) при

сводится к линейному матричному неравенству

В нестрогих линейных матричных неравенствах знак > заменяется на ≥. Матричные неравенстваи с аффинными функциямии записываются как линейные матричные неравенства и соответственно.

Линейное матричное неравенство (1) определяет нелинейное, но выпуклое огра­ничение на х, т. е. множество является выпуклым. Действительно, если ито, учитывая, что функция F(x) аффинная, имеем

Системой линейных матричных неравенств называется конечное множество линей­ных матричных неравенств

(4)

Важно отметить, что любая система линейных матричных неравенств может быть за­писана как одно линейное матричное неравенство. А именно, (4) выполняется тогда и только тогда, когда

Это следует из того факта, что множество собственных значений матрицы F(x) есть объединение множеств собственных значений матриц и минимальное собственное значение матрицы F(x) совпадает с минимумом из всех минимальных собственных чисел матриц Следовательно, любой х, для которого F(x) > 0, также удовлетворяет системе (4) и наоборот.