Дискретно-непрерывная математика (стр. 98 )

над А сопровождается следующими операциями над прибавлением к т-й строке умноженной на t l-ой строки, если прибавлением к -м столбцам умноженных на -х столбцов, если прибавлением к -м столбцам умноженных на -х столбцов, если пробегает значения

Таким образом, элементарные преобразования кубической матрицы А влекут за собой элементарные преобразования двумерной матрицы при которых, как известно, ее ранг ri остается неизменным. Аналогично доказывается неизменяемость рангов и матрицы А при ее элементарных преобразованиях.

Теорема 1.2. Каждый из рангов кубической матрицы А не больше, чем произведение двух остальных рангов.

Заметим, прежде всего, что теорема справедлива, если один из ран­гов равен нулю, так как тогда матрица А — нулевая и, следова­тельно, остальные два ранга также равны нулю. Поэтому в дальнейшем мы будем предполагать, что все рангиотличны от нуля. Пусть, например, игде λ и μ — положительные числа, не превосхо­дящие порядка п матрицы А. Докажем, что

Так как ранг ri равен λ и не меняется при элементарных преобра­зованиях матрицы А, то в последней, так же как и в любой матрице, полученной из А элементарными преобразованиями, всегда существуют λ сечений ориентации (і), не состоящих целиком из нулей. Не ограничивая общности, мы можем предположить, что среди элементов 1-го сечения ориен­тации (і) в матрице А находится по крайней мере один элемент, например не равный нулю, так как в противном случае достаточно было бы переставить это сечение с каким-нибудь другим параллельным сечением, не состоящим целиком из нулей. Прибавляя теперь 1-е сечение ориентации (i), умножаемое каждый раз на выбранное надлежащим образом число, к каждому из остальных сечений той же ориентации, мы получим матрицу А(1) в которой строка направления (і), содержащая элемент имеет все остальные элементы, равные нулю. Во 2-м сечении ориентации (i) мат­рицы А(1) можно, очевидно, также без нарушения общности считать по край­ней мере один из элементов, напримеротличным от нуля. Поэтому, прибавляя в А 2-е сечение ориентации (і), умножаемое каждый раз на выбранное надлежащим образом число, к 3-му, 4-му, . .., п-му сечениям той же ориентации, мы получим матрицу А(2), в которой, кроме строки направления (і)

встречавшейся уже в матрице А(1), будет также строка того же направления

Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не придем к матрице содержащей среди строк направления (і), кроме упомянутых выше строк и им подобных, также строку

где элемент

не равен нулю, а все следующие за ним элементы — нули.

Так как составленный из элементов этих строк квадратный детерми­нант порядка λ

не равен нулю и двумерный ранг по индексу i матрицы равен λ, то в последней только первые λ сечений ориентации (і) содержат элементы, не все равные нулю, тогда как остальные сечения этой ориентации состоят целиком из нулей.

Производя теперь в матрице аналогичные преобразования над сечениями ориентации (j), мы придем к матрице у которой двумерный ранг по индексу j равен μ и все сечения ориентации (j), за исклю­чением первых μ, состоят целиком из нулей. При этом нулевые элементы матрицы сохраняются и в матрице так как соответственные элементы двух сечений ориентации (j) принадлежат одному и тому же сече­нию ориентации (i). Двумерная матрица, составленная из строк направ­ления (k) матрицы имеет вид

Так как число всех нулевых столбцов ее равно то двумерный ранг по индексу k матрицы — следовательно, и ранг rk матрицы А — не больше, чемИз теоремы 1.2 вытекают очевидные следствия:

Следствие I. Если один какой-либо из рангов равен 1, то остальные два ранга равны между собой.

Следствие II. Если два какие-либо из ранговравны 1, то

третий ранг также равен 1.

Замечание 1.1. Если кубическая матрица — симметрическая отно­сительно двух каких-нибудь индексов, то ее двумерные ранги по каждому из этих индексов одинаковы.

Замечание 1.2. Если кубическая матрица— симметрическая, то все ее двумерные ранги одинаковы и могут быть объединены в одно понятие двумерного ранга r.

2. Возьмем теперь р-мерную матрицу п-гo порядка Фиксируя в ней значения всех индексов, кро­ме каких-нибудь из них, например пробегающих независимо друг от друга значения 1,2, ...,п, мы получим последова­тельность элементов матрицы А, которые расположим по вертикали в нормальном порядке. Число таких последовательностей, очевидно, равно Располагая их также в нормальном порядке, составим двумер­ную матрицу

имеющую строк и столбцов. Например, при р = 4 и п = 2, полагая последовательно τ равным 1, 2, 3, имеем:

Ранг двумерной матрицы называется двумерным

рангом по τ-кратному индексу матрицы А. Очевидно, этот ранг равен двумерному рангу

по (р — τ) кратному индексу

матрицы А.

В частности, между двумерными рангами кубической матрицы имеют место соотношения