Дискретно-непрерывная математика (стр. 33 )

вию и в дальнейшем достаточно рассматривать

матрицу А, все диагональные элементы которой равны 1. Если — собственные значения матрицы А (обязательно по­ложительные), то

Нужное неравенство вытекает из соотношения между арифме­тическим и геометрическим средними неотрицательных чисел. Равенство средних имеет место тогда и только тогда, когда все Так как А эрмитова и, следовательно, диагонализуемая матрица, это равносильно тому, что А = I. Итак, равенство в исходном неравенстве достигается тогда и только тогда, когда А — диагональная матрица.

Существует еще одно детерминантное неравенство для про­извольных квадратных матриц, эквивалентное неравенству из теоремы 21.8.1 и также называемое неравенством Адамара. Гео­метрически число есть объем n-мерного параллелепи­педа, образующими ребрами которого являются строки (или столбцы) матрицы А. Этот объем будет наибольшим, когда об­разующие ребра попарно ортогональны, в последнем случае он равен произведению длин ребер. Неравенство Адамара — это алгебраическая формулировка указанного геометрического факта.

21.8.2. Следствие (неравенство Адамара). Для любой матрицы справедливы неравенства

Равенство в них достигается тогда и только тогда, когда строки (соответственно столбцы) матрицы В попарно ортогональны.

Доказательство. Если В вырожденна, то доказывать нечего. В случае невырожденной матрицы В нужно применить неравен­ство из теоремы 21.8.1 к положительно определенной матрице А=ВВ* и извлечь квадратный корень из обеих частей. Пра­вая часть доказываемого неравенства есть квадратный корень из произведения диагональных элементов матрицы А, а левая часть — квадратный корень из определителя этой матрицы. Стро­ки матрицы В попарно ортогональны тогда и только тогда, когда А — диагональная матрица, а это и есть случай равен­ства в теореме 21.8.1. Второе доказываемое неравенство полу­чается применением первого к матрице В*.

Упражнение. Следствие 21.8.2 мы вывели из теоремы 21.8.1. По­казать, что, наоборот, теорема 21.8.1 вытекает из следствия 21.8.2. Указание. Если матрица А положительно определена, то суще­ствует единственная положительно определенная матрица В, та­кая, что В2=А. Применить следствие 21.8.2 к В и обе части полученного неравенства возвести в квадрат.

Упражнение. Используя неравенства Адамара (и приводи­мые ниже их обобщения), дать по возможности лучшие оценки для

Два усиления неравенства Адамара для положительно опре­деленных матриц связаны с именами Фишера и Саса. В нера­венстве Фишера роль, какую в неравенстве Адамара играли диагональные элементы, выполняют дополняющие друг друга главные подматрицы.

21.8.3. Теорема (неравенство Фишера). Пусть блочная матрица

положительно определена, и пусть блоки А и С непустые и квадратные. Тогда

Доказательство. Полагаянаходим

Последний переход основан на следующем рассуждении: по теореме 21.7.6 а тогда, согласно следствию

21.7.4(b),

Упражнение. Вывести неравенство Адамара (теорема 21.8.1) из неравенства Фишера. Кроме того, сформулировать неравен­ство Фишера для разбиений матрицы Р, более мелких, чем в теореме 21.8.3 (где две главные подматрицы), и менее мелких, чем в теореме 21.8.1 (п главных подматриц). Отметить, что в этом случае правая часть неравенства Фишера не превосходит правой части неравенства Адамара. Таким образом, для после­довательности вложенных измельчающихся разбиений неравен­ство Фишера дает монотонно неубывающую последовательность верхних оценок определителя матрицы Р.

Есть и другое неравенство, также приводящее к последова­тельности верхних оценок определителя, которая включает в себя оценку Адамара. Пусть обозначает произведение всех главных миноров матрицы А, имеющих порядок k (их чиолоравно Заметим, что и

21.8.4. Теорема (неравенство Саса). Если матрица положительно определена, то

для всех

Доказательство. Диагональные элементы матрицы А-1 суть отношения главных миноров матрицы A, имеющих порядок п — 1, к ее определителю. Поэтому применение теоремы 21.8.1 к положительно определенной матрице A-1 дает

т. е.

Извлекая из обеих частей этого неравенства корень (п—1)-й степени, получим неравенство Саса для k = п—1. Для осталь­ных случаев можно использовать рассуждение по индукции. Пусть, например, k = n — 2. Рассматривая каждую главную подматрицу порядка п—1 как самостоятельную матрицу и применяя обоснованное выше неравенство, получаем, что

Здесь учтено, что всякая главная подматрица порядка п — 2 ровно два раза выступает в роли главной подматрицы в неко­торой главной подматрице порядка п—1. Извлечение из обеих частей корня степени дает неравенство Саса для Таким же образом доказываются оставшиеся неравенства.

Упражнение. Показать, что из неравенств Саса вытекает не­равенство Адамара (теорема 21.8.1). В каком случае достигается равенство?

21.8.5. Утверждение. Пусть —положительно полуоп­ределенная матрица. Положим

'Здесь A11 — главная подматрица порядка п—1 матрицы А, по­лучаемая вычеркиванием из А первой строки и первого столбца.

Пусть —матрица, единственный ненулевой элемент которой находится в позиции (1,1) и равен 1. В таком случае матрица положительно полуопределена для всех в частности, положительно полуопределена матрица При любомматрицане будет положительно определенной.

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай положи­тельно определенной матрицы А. Применим теорему 21.2.5 для случая последовательности нижних угловых миноров. Заме­тим, что первые п—1 из этих миноров у матриц и А совпадают; кроме того,

Упражнение. Восполнить пропущенные детали в доказатель­стве утверждения 21.8.5.

Упражнение. Доказать неравенство Адамара из теоремы 21.8.1 по индукции, опираясь на утверждение 21.8.5.

Неравенству Адамара можно еще придать форму, исполь­зующую адамарово произведение:

Неравенство, доказанное Оппенгеймом и усиленное Шуром, обобщает неравенство Адамара, показывая, что в последнем совсем не обязательно брать именно единичную матрицу.

21.8.6. Теорема (неравенство Опиенгейма). Если матрицы А, положительно полуопределены, то

Доказательство проведем индукцией по п. При п = 1 утвер­ждение очевидно. Пустьи пусть для всех матриц, поря­док которых не превосходит п—1, утверждение справедливо. Тогда

согласно предположению индукции. Обозначения здесь те же, что в утверждении 21.8.5. Заметим, что Так как матрица положительно полуопределеиа, то положительно полуопределена и матрица Следовательно,