Дискретно-непрерывная математика (стр. 13 )

В качестве заключительного примера сходства между свой­ствами собственных значений эрмитовых матриц и свойствами сингулярных чисел приведем следующий аналог теоремы Ку­ранта— Фишера 18.2.11.

21.3.10. Теорема. Пусть Положим

и пусть суть упорядоченные сингулярные

числа матрицы A, a k — заданное целое число из промежутка Тогда

Доказательство. Эти формулы прямо вытекают из (18.2.12) и (18.2.13), поскольку есть собственное значение матрицы А*А.

Если — это упорядоченные собственные значения эрмитовой матрицы А*А, то и

(18.2.12) дает

Таким же образом доказывается второе равенство.

21.4. Примеры и приложения сингулярного разложения

Полярная форма и сингулярное разложение имеют много­численные приложения. Некоторые из них указаны в задачах; еще несколько обсуждается в следующих примерах.

21.4.1. Пример. Пусть дана обратимая матрица Тогда все достаточно близкие (в смысле произвольной нормы) к А матрицы также обратимы. В некоторых задачах статистического моделирования требуется найти «ближайшую к А (в смысле наименьших квадратов) вырожденную матрицу». Другими сло­вами, мы хотим найти матрицу В, такую, что А+В вырожденна и при этом величина имеет наименьшее возможное значение.

Фиксируем некоторую матричную норму Предположим, что матрица А+В вырожденна, и запишем ее в виде Если бы было то матрица

а значит, и А + В, была обратима согласно следствию 19.6.16. Итак, т. е. если А обратима, а А+В вырожденна, то должно быть Возьмем в качестве нормы ||•|| спектральную норму, и пусть — сингулярное разложение матрицы А. Тогда где — наименьшее сингулярное число мат­рицы А. Следовательно, всякая матрица В, для которой мат­рица А+В вырожденна, должна удовлетворять неравенству Но если взять где то и матрица A+ В вырожденна (причем имеет ранг п— 1).

Более общо, если мы хотим найти для заданной матрицы А, вырожденной или невырожденной, «ближайшую в смысле евкли­довой нормы матрицу ранга k», то можем взять матрицу А + В, где, как и прежде, но Доказательство этого утверждения предлагается про­вести в задаче 1 в конце данного параграфа, а его обобщение на произвольную унитарно инвариантную норму обсуждается в примере 21.4.52.

Специального упоминания заслуживает случай k = \, часто встречающийся в приложениях. Наилучшее среднеквадратичное приближение заданной - матрицы матрицей

ранга 1 имеет вид

Здесь—наибольшее син­гулярное число матрицы A, v и да— первые столбцы в унитар­ных матрицах V и W сингулярного разложения. Говоря о век­торах v и w, полезно иметь в виду, что они являются норми­рованными решениями пары эрмитовых спектральных задач

в которых—наибольшее собственное значение положительно

полуопределенной матрицы А*А (и матрицы АА*). Разумеется, это замечание не определяет v и w однозначно; одна из трудно­стей состоит в том, что собственные подпространства, отвечаю­щие не обязаны быть одномерными. Однако если — про­стое собственное значение матрицы А*А (а следовательно, и матрицы АА*), то собственные векторы v и w определены с точностью до скалярного множителя с модулем 1; поэтому они (то есть взятые произвольным образом нормированные собственные векторы матриц АА* и А*А, отвечающие собственному значению ) лишь множителями отличаются от первых столбцов унитарных матриц V и W в сингулярном разложении В этом случае при фиксированном выборе нормированных собственных векторов v и w наилучшее одноранговое приближение к мат­рице А должно иметь вид где θ — некоторое веще­ственное число. Скалярный множитель нужно выбрать так, чтобы минимизировать величину что эквивалентно макси­мизации функции Но для некоторого ; следовательно, Итак, оптимальный скалярный множитель равен а наилучшим одноранговым приближением к А будет матрица

Все это показывает, что если старшее собственное значение матрицы А*А простое, то наилучшее среднеквадратичное при­ближение к А ранга 1 может быть без дополнительных усилий построено по решениям двух эрмитовых спектральных задач. Условие простоты старшего собственного значения матрицы А*А выполнено, например, для неотрицательной матрицы такой, что положительна или, более общо, нераз­ложима.

21.4.2. Пример. В теореме 19.7.17 было доказано такое утверж­дение: для того чтобы векторная норма на Мп удовлетворяла условию

для любыхи всех необходимо и достаточно, чтобы для нее существовала согласованная векторная норма наКритическое место в этом доказатель­стве следующее: из указанного неравенства для нормы и спектрального радиуса вытекает существование положительной константы с, такой, чтоЧтобы обосновать это утверждение, требуется сингу­лярное разложение произведения Детали можно найти в лемме 19.7.16.