Дискретно-непрерывная математика (стр. 11 )

«Диагональные элементы» (кавычки указывают на то, что Σ, как и А, может не быть квадрат­ной)

матрицы S называются сингулярными числами матрицы (иногда этот термин применяют только к ненулевым диагональным элементам). Столбцы матриц V и W называют соответственно левыми и правыми сингулярными век­торами матрицы А. Разложение из теоремы 21.3.5 называют син­гулярным разложением матрицы А. Полярная матрица Р есть единственный положительно полуопределенный квадратный ко­рень из матрицы АА*, а сингулярные числа σі суть неотрица­тельные квадратные корни из собственных значений матрицы АА*. Поэтому сингулярные числа матрицы А совпадают с соб­ственными значениями полярной матрицы Р. Хотя удобно рас­полагать сингулярные числа в порядке убывания, это соглаше­ние относительно сингулярного разложения не является обще­принятым; матрица А однозначно определяет лишь множество сингулярных чисел, но не порядок на нем.

Отметим, что сингулярное разложение дает естественное обобщение на матрицы общего вида спектрального разложения нормальных матриц. По этой причине многие факты, относя­щиеся к собственным значениям нормальных матриц, могут быть переведены в правильные утверждения о сингулярных чис­лах произвольных матриц.

Упражнение. Пусть — заданный ненулевой вектор;

положим Показать, что сингулярное разложение

матрицы А имеет вид где

в матрице пер­вым столбцом является вектор остальные столбцы

составляют произвольную ортонормированную систему, ортого­нальную к х.

Если то все три множителя , в сингулярном

разложении суть -матрицы. Пусть А = PU — полярное раз­ложение матрицы А, и пусть — спектральное разло­жение матрицы Р, причем такое, что ее (обязательно неотрица­тельные) собственные значения упорядочены по невозраста­нию. Тогда равенство дает сингулярное разложение матрицы А; в нем Заметим, что

т. е. столбцы матрицы V суть собствен­ные векторы эрмитовой матрицы АА*, отвечающие собственным значениям Аналогично поэтому столбцы матрицы W суть собственные векторы мат­рицы А*А.

Упражнение. Пусть матрица невырожденна. Показать, что сингулярное разложение можно получить посредством следующей процедуры:

(a) Сформировать положительно определенную эрмитову матрицу АА* и вычислить ее спектральное разложение для этого найти (положительные) собственные значе­ния матрицы АА* и соответствующую систему ортонормированных собственных векторов.

(b) Положить

(c) Положить

Проверить, что W — унитарная матрица и что Указание. Вычислить матрицу W*W.

Упражнение. Пусть — заданная матрица, необязательно невырожденная. Показать, что сингулярное разложение можно получить посредством следующей процедуры:

(a) Найдется такое что матрица невырожденна для всех положительных ε, меньших, чем с. Пусть

(b) С помощью процедуры из предыдущего упражнения по­строить сингулярное разложение

(c) Использовать принцип выбора из леммы 16.1.8 и устре­мить ε к нулю вдоль последовательности положительных зна­чений εk, таких, что существуют оба предела

(d) Показать, что где

Это рассуждение можно применить для доказательства об­щего случая теоремы 21.3.5. Оно гарантирует существование син­гулярного разложения для матрицы общего вида, но не дает конструктивной процедуры вычисления его сомножителей, когда А не является матрицей полного ранга.

Упражнение. Предположим, что матрица невырожденна, и пусть суть левое и правое ее полярные разложения; матрицы положительно определены, а матрицы унитарные. Показать, что U=W всегда, но Р=Q тогда и только тогда, когда А -— нормальная матрица. В случае вырожденной матрицы А показать, что су­ществуют ее левое и правое полярные разложения, для которых Указание. Если — сингулярное разложение матрицы А, то ни V, ни W не определены однозначно; в то же время применить теперь утверждения о единственности из следствия 21.3.3. Рассматри­вая А = 0, убедиться, что для вырожденной матрицы А унитар­ные сомножители в полярных разложениях не обязаны совпа­дать.

Пусть — нормальная матрица с сингулярным разложением Поскольку то собственные векторы у матриц АА* и А*А одни и те же. Однако отсюда не сле­дует, что в сингулярном разложении V =W. Действительно, ра­венство означало бы, что А — эрмитова (и даже положительно полуопределенная) матрица. Пусть — спектральное разложение матрицы А; в матрице представим каждый элемент в виде если то считаем Если положить

то и равенства