Дискретно-непрерывная математика (стр. 44 )

Теперь рассмотрим некоторое частичное обобщение вариа­ционной характеризации (лемма 22.1.31) спектрального радиуса на случай произвольных неотрицательных матриц и неотрица­тельных векторов.

В доказательствах, однако, не будет ничего общего.

22.3.2. Теорема. Пусть и Если

для некоторого то

Доказательство. Пусть Возьмем и определим матрицу Тогда и имеет

положительный левый перронов векторт. е.

По условию и, стало быть,

Следовательно, Так как то для всех Далее, при поэтому

22.3.3. Следствие. Если ито

Доказательство. Если и если мы возьмем

тои по теореме 22.3.2 будем иметь В качестве х можно выбрать собственный вектор — тот самый, суще­ствование которого устанавливается теоремой 22.3.1. В этом слу­чае, как мы видим, верхняя оценка достигается для

Упражнение. Рассмотреть и и показать, что верхняя оценка из следствия (22.1.29) не обязательно вы­полняется, если вектор х не является положительным. Показать, что в общем случае теряет силу и минимаксная характеризация (22.1.32). Однако, согласно предыдущему результату, под­дается обобщению максиминная характеризация.

При дополнительном предположении теорему 22.3.2 можно несколько усилить за счет уточнения свойств вектора х.

22.3.4. Теорема. Пусть и Предположим, что А имеет положительный левый собственный вектор. Если и то

Доказательство. Пусть и предположим, что и Тогда

откуда и вытекает равенство

Без каких-либо дополнительных предположений при обобще­нии теоремы Перрона 22.2.11 на неотрицательные матрицы мы не продвинемся дальше того, что уже установлено теоремой 22.3.1.

Если и то неотрицательное собственное значение называется перроновым корнем матрицы А. Вследствие неоднозначной определенности собственного вектора, от­вечающего перронову корню неотрицательной матрицы, — в от­личие от случая положительной А—для произвольной неотри­цательной матрицы нет корректно определенного понятия перронова вектора. Например, для неотрицательной матрицы всякий неотрицательный вектор является собственным векто­ром, отвечающим перронову корню

22.4. Неразложимые неотрицательные матрицы

Полезно иметь в виду следующий эвристический принцип: если какой-то результат установлен для матриц с отличными от нуля элементами, то он обычно обобщается на неразложи­мые матрицы. Мы уже сталкивались с действием этого прин­ципа — при обобщении основной теоремы Гершгорина (см. гл. 20), а теперь мы увидим другие возможности его применения. Основная идея — это то, что уже было доказано в теореме 20.2.24. Воспроизведем ее часть, необходимую для дальнейшего.

22.4.1. Лемма. Пусть и Тогда матрица А не­разложима в том и только в том случае, когда

Упражнение. Доказать что неразложимость матрицы АМп равносильна неразложимости матрицы

Нам понадобятся также следующие утверждения.

22.4.2. Лемма. Пусть и —ее собственные значения (с учетом кратностей).Тогда числа

являются собственными значениями матрицы Если то

Доказательство. Пусть имеет кратность k, т. е. λ есть корень характеристического уравнения и притом корень кратности k. Но тогда есть корень уравнения имеющий кратность k, вследствие того, что

Поэтому — собственные значения для

Следовательно,

Однако по теореме 22.3.1 число будет собственным значением для если — в этом случае

Упражнение. Объяснить, почему неполны следующие доводы в пользу первой части предыдущей леммы: если А имеет соб­ственное значение λ, то для некоторого вектора имеем тогда т. е. — собственное значение для