Дискретно-непрерывная математика (стр. 99 )

а между двумерными рангами четырехмерной матрицы — соотношения

Теорема 1.3. Двумерные ранги по τ-кратным индексам р-мерной матрицы А являются арифметическими инвариантами относитель­но ее элементарных преобразований.

В самом деле, операция

над матрицей А вызывает в двумерной матрице умножение на строк, если δ входит в τ-кратный индекс, истолбцов, если δ входит в -кратный индекс.

Операция

над А сопровождается следующими операциями над

прибавлением к строкам умноженных на t других строк, если δ входит в τ - кратный индекс, и прибавлением к столбцам умноженных на t других столбцов, если δ входит в -кратный индекс.

Таким образом, элементарные преобразования р-мерной матрицы А, влекущие за собой элементарные преобразования двумерной матрицы не могут изменить ее двумерного ранга по τ-кратному индексу.

Легко обобщается на случай любой пространственной матрицы и теорема 1.2 (упражнения 4 и 5), а также вытекающие из нее следствия I и II (упражнения 6 и 7), если выразить их в несколько видоизменен­ной форме, заменяя ранги соответственно равными им ранга­ми

Замечание 1.3. Если р-мерная матрица — симметрическая, то ее двумерные ранги но каждому из τ-кратных индексов одинаковы.

Замечание 1.4. Все рассмотренные в этом параграфе двумерные ранги пространственной матрицы А называются также двумерными рангами ассоциированной с ней алгебраической формы F и являются арифметиче­скими инвариантами относительно ее невырожденных линейных преобразо­ваний.

26.2. Многомерные ранги

1. Двумерные ранги по простым и кратным индексам являются част­ным случаем более общего понятия — многомерных рангов пространствен­ной матрицы. Для выяснения этого понятия обратимся снова к кубической матрице п-го порядка

Выделим в ней по каких-нибудь сечений каждой из ориентации располагая их в нормальном порядке, причем некоторые или даже все из v сечений одной какой-нибудь ориентации, например (i), могут быть повторными. Кубический детерминант v-гo поряд­ка с сигнатурой составленный из элементов, общих всем выделенным сечениям, будем называть трехмерным (кубическим) минором v-го порядки с сигнатурой порождаемым матрицей А.

Например, кубическими минорами 2-го порядка с сигнатурой порождаемыми матрицей

будут детерминанты

Это понятие несколько шире данного ранее понятия минора кубического детерминанта, где все выделяемые в матрице этого детерми­нанта сечения берутся без повторений. Наивысший порядок отличных от нуля кубических миноров с сигна­турой порождаемых матрицей А, называется ее трехмерным рангом по индексам j, k. Его мы будем обозначать символом

Аналогично определяются трехмерные ранги (по индексам i, k) и (по индексам i, j) матрицы А.

Теорема 2.1. Трехмерные ранги кубической матрицы А являются арифметическими инвариантами относительно ее элементарных преобразовании.

В самом деле, операция

над матрицей А сопровождается умножением каждого кубического минора v-uo порядка с той или иной сигнатурой, порождаемого матрицей А, на где λ — одно из чисел а потому не влияет на равенство или неравенство нулю этого минора и, следовательно, не изменяет трехмерных рангов матрицы А. Операция

над А присогласно свойству X (гл. I, § 2) многомерных детерминантов, не изменяет порождаемых этой матрицей кубических миноров с сигнатурой или а следовательно, и рангов Что же касается миноров с сигнатурой то они при этой операции могут подвергаться изменениям. Именно, миноры v-uo порядка с сигнатурой порож­даемые преобразованной матрицей и содержащие т-е сечение ориентации (i) исходной матрицы А, являются на основании свойства VIII многомерных детерминантов линейными однородными функциями косигнатурных миноров v-гo порядка, порождаемых матрицей А. Следовательно, все они при равны нулю и потому ранг не может увеличиться при рас­сматриваемой операции. Но он не может и уменьшиться, так как тогда операция

над преобразованной матрицей, приводящая ее к исходной матрице А, вы­звала бы увеличение что, как мы видели, невозможно. Следовательно, ранг остается неизменным при операции (б), когда Подобным образом доказывается неизменяемость трехмерных рангов матрицы А при операции (б), когда или

Теорема 2.2. Трехмерный ранг по каким-нибудь двум индексам кубической матрицы А не превышает наименьшего из двумерных рангов ее по каждому из этих индексов.

Действительно, все кубические миноры любого порядка с какой-нибудь сигнатурой, например порождаемые матрицей А, представляются, как было показано ранее, суммами обычных детерминантов того же порядка, составленных из строк направления (j) или (k) матрицы А. Поэтому согласно определению трехмерный ранг (по индексам j, k) матрицы А не может быть больше ее двумерных рангов rj (по индексу /) и rk (по индексу k), т. е. не превышает наименьшего из рангов rj, rk. Из теоремы 2.2 вытекают очевидные следствия.