Дискретно-непрерывная математика (стр. 128 )

приводится к каноническому виду

(1.26)

В вещественной области коническое сечение С2, входящее в состав линии С3, может быть вещественным или мнимым, причем обе точки пере­сечения его с прямой С1 могут быть вещественными или мнимыми сопря­женными.

Если С2 вещественно и пересекается прямой С1 в двух вещественных точках, то все сказанное раньше сохраняет силу и каноническая форма (1.26) имеет место как в комплексной, так и в вещественной области.

Если же С2 пересекается прямой С1 в двух мнимых сопряженных точ­ках М1 и М2, то координатную систему выбираем так, чтобы полюс пря­мой С1 относительно С2 имел координаты (0, 1, 0), а точки M1, M2 — коор­динаты Тогда, поскольку должно быть уравнением прямой С1, линия С3 будет представлена формой

Но поляра точки (0, 1, 0) относительно С2 и касательные к С2 в точ­ках M1, M2 имеют уравнения

совпадающие соответственно с уравнениями

Следовательно,

Таким образом, форма, представляющая линию С3, имеет в данном слу­чае вид

и невырожденным линейным преобразованием

приводится к канонической форме

или

смотря по тому, вещественным или мнимым будет С2.

Пусть теперь прямая С1 касается конического сечения С2. Тогда C1 принимаем за сторону координатного треугольника, у которого сторона направлена по какой-нибудь прямой С′1, проходящей через точку касания линий С1 и С2, а сторона по касательной к С2 в другой точке пересечения линий Легко видеть, что линия С3 относительно выбранной системы координат представляется формой

где отличны от нуля.

Последняя невырожденным линейным преобразованием

приводится к канонической форме

имеющей, таким образом, место как в комплексной, так и в вещественной области.

Случай III. Линия С3 — распадающаяся на тройку пря­мых.

Если тройка прямых, на которые распадается линия С3, не пересекается в одной точке, то ее можно принять за координатный треугольник и ли­ния С3 будет представлена формой легко приводящейся к кано­ническому виду

Последняя форма имеет место не только в комплексной, но и в веще­ственной области, если все прямые тройки вещественны. Если же одна из прямых вещественна, а две — мнимые сопряженные, то систему координат выбираем так, чтобы уравнения мнимых прямых имели вид — уравнения двух сторон координатного треуголь­ника, третья сторона которогонаправлена по вещественной прямой рассматриваемой тройки. Линия C3 будет представлена тогда формой где

Последняя очевидным вещественным невырожденным линейным преобра­зованием приводится к канонической форме

Если тройка прямых, на которые распадается линия С3, пересекается в одной точке, то могут представиться три варианта.

Вариант 1-й: все прямые тройки — различные.

Принимая тогда какую-нибудь пару из тройки прямых за стороны координатного треугольника, получим для третьей прямой уравнение

(1.27)

гдеотличны от нуля.

Следовательно, линия С3 представляется двойничной кубической формой где не равны нулю.

Так как дискриминант этой формы отличен от нуля, то, как показано в § 3 гл. IV, она приводится в комплексной области к кано­ническому виду

(1.28)

а в вещественной области, если все прямые рассматриваемой тройки веще­ственны, к каноническому виду

поскольку тогда ∆>0.

Если же одна из тройки прямых вещественна, а две — мнимые сопря­женные, то координатную систему выбираем так, чтобы уравнения мнимых прямых имели вид где — уравнения двух сторон координатного треугольника. Тогда для вещественной прямой тройки получим уравнение (1.27) и, следовательно, линия С3 представляется формой

приводящейся к каноническому виду (1.28), поскольку ее дискриминант

Вариант2-й: две из тройки прямых — совпадающие.

Принимаем тогда совпадающие прямые за сторону координатного треугольника, а третью прямую —за сторону этого треугольника. Тогда линия С3 представляется формой приводящейся к каноническому виду как в комплексной, так и в вещественной области.

Вариант 3-й: все прямые тройки — совпадающие.

Принимая их за сторону координатного треугольника, придем к представлению линии С3 формой приводящейся в комплексной и вещественной областях к каноническому виду

Имеем, таким образом, в комплексной области следующие канонические виды особенных кубических тройничных форм, не равных тождественно нулю

(I)

(I I)

(III)

(IV)

(V)

(VI)

(VII)

(VIII)

В вещественной области к числу канонических видов особенных куби­ческих тройничных форм, кроме указанных выше, относятся также следу­ющие:

(I')

(II')

(II")

(III')

(VI')