Дискретно-непрерывная математика (стр. 20 )

положительно определенную матрицу В можно записать в виде для некоторой невырожденной матрицыможно, например, взять Мы уже отмечали, что для некоторой ортонормированной пары в (21.4.30) может достигаться равенство.

Упражнение. Показать, что (21.4.35) есть усиление обычного неравенства Коши — Шварца, имеющего в данном случае вид

гдеОднако неравен-

ство Коши — Шварца приложимо ко всем парам х, у, в то время как (21.4.35) — только к ортогональным парам. Что случится, если

Неравенство Вилапдта в форме (21.4.33) сразу приводит к полезной геометрической интерпретации спектрального числа обусловленности. Для произвольной ортонормированной пары левая часть неравенства

(21.4.36)

есть обычный косинус меньшего евклидова угла между ненуле­выми векторами Ах и Ау. Смысл данной оценки: меньший угол между Ах и Ау ограничен снизу числом определяемым соотношением Поскольку эта граница может достигаться, установлена геометрическая интерпретация числа как минимального угла между Ах и Ау, когда х и у пробегают всевозможные ортонормировапные пары векторов.

Из неравенства Виландта легко получить хорошо известное неравенство Канторовича. Пусть х—произвольный вектор из положим

(21.4.37)

и заметим, что Тогда

Так как матрица В, а следовательно, и В-1 положительно опре­делены, то должно быть а потому

Перепишем неравенство (21.4.31) в виде

Подставляя значения, соответствующие конкретному выбору (21.4.37) для пары х, у, получим

В любом из двух возможных случаев или это означает, что

или

(21.4.38)

для всякого вектораОтметим, что (21.4.38) превращается в равенство, еслиесть сумма ортонормированных

собственных векторов матрицы В, отвечающих наименьшему и наибольшему собственным значениям. Это приводит к двум эквивалентным формам неравенства Канторовича, соответствую­щим двум формам неравенства Виландта.

21.4.39. Теорема. Пусть — заданная невырожденная

матрица со спектральным числом обусловленности Определим угол θ из первого квадранта формулой Тогда для любого справедливо неравенство

(21.4.40)

Кроме того, найдется нормированный вектор х, для которого (21.4.40) превращается в равенство.

21.4.41. Теорема. Пусть —заданная положительно определенная матрица с собственными значениями

Тогда

(21.4.42)

для любогоКроме того, найдется нормированный вектор х, для которого (21.4.42) превращается в равенство.

Доказательство. Оба результата вытекают из (21.4.38), если подставить туда и учесть, что

Тот факт, что в обоих случаях возможно равенство, следует из возможности равенства в (21.4.38).

21.4.43. Пример. Иногда удается доказать соотношения между нормами матриц, выполняющиеся для всех унитарно инвариант­ных норм. Средство вывода таких соотношений мы получим, если осознаем фундаментальную роль, которую играют конкрет­ные симметричные калибровочные функции Эти функции вводятся на формулами

(21.4.44)

Применяемые к сингулярным числам матрицы, как это описано в теореме 21.4.24, симметричные калибровочные функции данного семейства порождают семейство унитарно инвариантных норм наназываемых k-нормами Фань Цзы. Случай k = 1 соответствует спектральной норме, а случай—следовой норме.

21.4.45. Теорема. Пусть — фиксированные векторы из Для того чтобы неравенствобыло спра-

ведливо при любой симметричной калибровочной функции g(∙) на необходимо и достаточно, чтобы оно выполнялось для конкретных симметричных калибровочных функций k=1,2, ..., п, определенных в (21.4.44).

Доказательство. Поскольку каждая из функций—симметричная калибровочная функция, то необходимость условия ясна. Для доказательства достаточности предположим, что не­равенства выполнены для и пусть — заданная симметричная калибровочная функция. Так как симметричная калибровочная функция не меняется при пере­становках компонент своего аргумента (см. свойство.(21.4.22)), то мы не потеряем общности, если будем считать (это удобно для дальнейшего), чтр компоненты векторов х и у пронумерованы в соответствии с возрастанием абсолютных величин:

Теперь предположениестановится эквивалентным системе п неравенств

(21.4.46)

(*)

Сходство между этими неравенствами и неравенствами из опре­деления 18.3.24 для мажоризации не является чисто внешним.

Если последнее из неравенств (21.4.46) строгое, изменим век­тор у, уменьшая абсолютную величину компоненты у1, пока не­равенство (*) не обратится в равенство (случай (а)), либо у1 не станет нулем (случай (b)). В случае (b) повторим этот про­цесс со следующей компонентой y2 и так далее, пока не будет достигнут случай (а). В результате будет получен измененный вектор такой, что для для всехи соотношение (*) является равенством. Поскольку абсолютная норма в то же время моно­тонна (см. теорему 19.5.10), то Таким образом, если мы сможем показать, что для произвольных удовлетворяющих неравенствам (21.4.46) с равенством (*), то можно будет утверждать справедливость соотношения