Дискретно-непрерывная математика (стр. 106 )

Из формулы (4.13), пользуясь выражениями (3.10), находим

где

(4.14)

Замена в σ11 обоих индексов 1 индексами 2 или 3, так же как и за­мена в одного из индексов 1,2 индексом 3, приводит, как нетрудно убедиться, к обмену этими индексами в символах входящих в формулы для определениячто в свою очередь влечет обмен теми же индексами в выражениях (3.10), определяющих эти символы, а следова­тельно, и в выражении (4.14). Однако последнее при обмене любыми двумя индексами не меняется. Поэтому имеем также

Таким образом,

(4.15)

где индексы имеют любые из значений 1, 2, 3, не равные друг другу.

Заметим, что

Найдем теперь следы матриц, выражающих произведения соответственных клеток матриц К и С′, представленных в виде (3.12) и (4.11). Полагая

имееем на основании равенств (3.13) и (4.12)

или

(4.16)

где индексыимеют любые из значений 1, 2, 3.

При этом, очевидно,

Из формулы (4.16), пользуясь выражениями (3.10) и (3.11), находим:

где

Замена в выражении первого индекса 1 индексом 2 или 3 приводит к выражению или Нетрудно убедиться, что такая операция вызывает обмен индексами 1, 2 или 1, 3 в символах входящих в формулы для определения что в свою очередь влечет обмен теми же индексами в выражениях (3.10) и (3.11), определяющих упомянутые выше символы, а следовательно, и в выражении (4.17). Но последнее не меняется при обмене любыми двумя индексами. Поэтому имеем также

Таким образом,

Ч, (4.18)

где α имеет любое из значений 1, 2, 3. Заметим, что

Выражение Т можно написать также в другом виде. Для этого в симме­трической матрице 9-го порядка К переставим 2-ю и 4-ю, 3-ю и 7-ю, 6-ю и 8-ю строки, а также соответствующие этим строкам столбцы. Получим симметрическую матрицу 9-го порядка К', которую напишем в виде симметрической клеточной матрицы

(4.19)

где клетки являются также симметрическими матрицами

(4.20)

Рассматривая следы матриц, выражающих произведения соответствую­щих клеток матриц К' и С, представленных в виде (4.19) и (3.8), и полагая

находим на основании равенств (3.9) и (4.20)

или

(4.16')

где индексыимеют любые из значений 1, 2, 3.

При этом, очевидно, Из формулы (4.16') получаем аналогично предыдущему

(4.18')

где α имеет любое из значений1, 2, 3.

Заметим, что

и

Теорема 4.7. Выражения S и Т, представленные формулами (4.15) и (4.18) или (4.18'), являются относительными инвариантами тройничной кубической формы f, веса которых равны соответственно 4 и 6. ( Инварианты S и Т указаны Аронгольдом, который дал также развернутое выражение S (формула (4.14)). Развернутое выражение Т (формула (4.17)) впервые дано было Салмоном. В исследованиях Клебша и Гордана по теории тройничных куби­ческих форм в качестве относительных инвариантов фигурируют 6S и 6Т, вычисляемые с помощью так называемой δ-операции).

Действительно, подвергая форму f невырожденному линейному преобра­зованию

(4.21)

с матрицей

детерминант которой мы тем самым соответствующую этой форме кубическую матрицу умножаем по всем индексамна квадратную матрицу а. Но умножение на а приводится к последовательным умножениям (по всем индексам) на элементарные квад­ратные матрицы произведению которых равна матрица а.

Умножению же (по всем индексам) на элементарную матрицу где v — любое из значений равносильна операция

если соответствует линейному преобразованию

детерминант которого равен t, или операция

если соответствует линейному преобразованию

детерминант которого равенобразуют последовательность в некотором порядке чисел 1, 2, 3).

Следовательно, детерминант матрицы а, определяемый формулой

равен произведению чисел t, фигурирующих в симметрических элементар­ных преобразованиях типа (а), которым подвергается матрица А при невы­рожденном линейном преобразовании (4.21) формы f.

Операция (а) над А вызывает умножение каждого элемента ее на где λ — число индексов элемента, равных l. Из выражений (4.14) и (4.17) видно, что каждый из индексов 1, 2, 3 повторяется четыре раза в каждом члене выражения S и шесть раз в каждом члене выражения Т. Следовательно, операция (а) сопровождается умножением S на t4 и Т на t6.

Операция (б) над А приводит к матрице элементы которой выражаются формулами

где индексыобразуют последовательность в некотором порядке чисел 1, 2, 3.

Составив при помощи этих формул для преобразованной матрицы А' выражения (4.14) и (4.17), увидим, что они будут такими же, как и для исходной матрицы А. Следовательно, операция (б) не меняет выражений S и T.

Таким образом, в результате невырожденного линейного преобразования формы f, сопровождающегося симметрическими элементарными преобразо­ваниями ее матрицы А, выражения S и Т лишь умножаются соответственнона 4-ю и 6-ю степень детерминанта этого преобразования, т. е. S и Т есть относительные инварианты формы f, веса которых равны соответ­ственно 4 и 6.