Дискретно-непрерывная математика (стр. 22 )

Поскольку есть множество сингулярных чи­сел матрицы то следствие 21.4.47 обеспечивает не­равенстводля любой унитарно инва­риантной нормы

21.4.52. Пример. Одно из следствий теоремы 21.4.51 состоит в том, что можно обобщить задачу о наилучшем (в смысле наименьших квадратов, т. е. в смысле евклидовой нормы) при­ближении ранга k для заданной матрицы Эта задача рассмотрена в примере 21.4.1. Пусть—унитарно инвариант­ная норма; если имеет ранг k, то Следовательно,

Здесь использовано то обстоятельство, что унитарно инвариант­ная норма, рассматриваемая на множестве диагональных мат­риц, монотонна, будучи симметричной калибровочной функцией диагональных элементов. Далее, если —сингулярное разложение матрицы А, то в последнем переходе дости­гаетсяравенство в случае матрицы где

Итак, для произвольной матрицы и всякой матрицы

имеющей ранг k, справедливы оценки

(в последнем выражении диагональ содержит k нулей), какова бы ни была унитарно инвариантная норма. В первой оценке может достигаться равенство; для второй это, вообще говоря, не так. Вторая оценка тривиальна для вырожденной матрицы А и следует единственно из свойства монотонности симметричных калибровочных функций, если А невырожденна. Она имеет то достоинство, что в ее правой части сомножитель, зависящий от нормы, есть функция только от k, но не от А. Из наших оценок, в частности, вытекает, что для любой невырожденной матрицы и любой унитарно инвариантной нормысправедлива и достижима оценка

(21.4.53)

для расстояния от А до произвольной вырожденной матрицы В. Другими словами, минимальное (в смысле унитарно инвариант­ной нормы расстояние от А до замкнутого множества вы­рожденных матриц равно

21.4.54. Пример. Опираясь на свойства симметричных калиб­ровочных функций, можно дать простую характеризацию тех унитарно инвариантных норм на Мп, которые являются матрич­ными кормами. Если —унитарно инвариантная матричная норма на Мп, то, как мы знаем из следствия 15.6.35, для всех Используя теорему 15.6.9 и тот факт, что всякая унитарно инвариантная норма на Мn самосопряжена, мы можем доказать это и непосредственно.

Действи­тельно, С другой стороны, пусть—унитарно инвариантная норма на Мп, та­кая, что для всех и пусть g — симметрич­ная калибровочная функция на порождаемая нормой Применяя указанные в задаче 18 из 21.3 неравенства для син­гулярных чисел, представляющие собой мультипликативный аналог обобщенных неравенств Вейля, а также учитывая монотонность нормы g, получаем

Итак, унитарно инвариантная норма тогда и только тогда является матричной нормой, когда для всех

В частности, все k-нормы Фань Цзыи все р-нормы Шаттена для (порождаемые симметричными калибровочными функциями соответственно семейств (21.4.44) и (19.2.4)) суть матричные нормы. Еще одно следствие этой характеризации: множество унитарно инвариантных мат­ричных норм на Мп выпукло. Множество всех матричных норм на Мп невыпукло.

Микромодуль 60

Индивидуальные тестовые задания

Задачи к п. 21.3.

1. Пусть — положительно полуопределенная матрица. Показать, что Р может быть представлена в виде многочлена от Р2; поэтому если заданная матрица U коммутирует с Р2, она должна коммутировать и с P. Вывести отсюда, что для нор­мальной матрицы полярные сомножители Р и U пере­становочны.

2. Показать, что всякую матрицу можно записать в виде где Р положительно полуопреде­лена, а Н эрмитова. Если А — вещественная матрица, то Р и Н могут быть выбраны вещественными и симметричными. В какой степени определяет А матрицы P и H? Указание. Если — унитарная матрица и — ее спектральное разложение, то где D — диагональная матрица с вещественными диагональными элементами. Какова будет матрица

3. Показать, что матрица тогда и только тогда имеет сингулярное число 0, когда она имеет нулевое собственное зна­чение.

4. Пусть и пусть Показать, что наибольшее сингулярное число матрицы А равно спектральной норме этой матрицы. Показать, что для евклидовой нормы мат­рицы А справедлива формула

Показать, что и охарактеризовать случаи

равенства. Вывести отсюда, что для всех верны соотношения

Рассматривая матрицы I и

убедиться в достижимости этих границ.

5. Пусть и пусть vk обозначает k-й столбец матрицы V, a wk есть k-й столбец матрицы W, где V и W взяты из сингулярного разложения (21.3.5) матрицы А. Доказать ра­венства (σk есть k-e сингулярное число матрицы А)

Как следствие,

6. Пусть дана большая матрица А. Как подойти к задаче определения ее ранга в условиях реальных вычислений? Заме­тим, что ранг матрицы А равен количеству ненулевых сингуляр­ных чисел этой матрицы. Поэтому одним из способов опреде­лить численно ранг матрицы является вычисление сингулярного разложения и подсчет количества сингулярных чисел, превы­шающих некоторый установленный уровень. Почему следует ожидать, что численное определение ранга матрицы проще и надежнее, если отношение ее наименьшего и наибольшего нену­левых сингулярных чисел не слишком близко к 0?