Дискретно-непрерывная математика (стр. 66 )

(14)

разрешимость которой и определяет условия квадратичной стабилизируемости несколь­ких объектов.

Утверждение 3. Для одновременной квадратичной стабилизации объектов (12) необходимо и достаточно, чтобы система линейных матричных неравенств (14) была разрешима относительно и Z и в этом случае

Другой возможный подход к решению этой задачи мог бы быть основан на приве­дении системы неравенств (13) к виду

(15)

Однако, как отмечалось в разделе 23.5, в общем случае отсутствуют конструктивные условия разрешимости систем неравенств такого вида. Они известны только для част­ных случаев, описанных в том же разделе. Один из этих случаев в применении к задаче квадратичной стабилизации рассматривается ниже.

Приведем систему неравенств (13), когда к виду

(16)

где Согласно утверждению 23.5 эта система неравенств разрешима относительно матрицы Θ тогда и только тогда, когда где обозначает матрицу, столбцы которой составляют базис нуль-пространства матрицы Q. Так как то для одновременной квадратичной стабилизации объектов (12) необходимо и достаточно, чтобы система линейных матричных неравенств

(17)

была разрешима относительно матрицы В этом случае параметры Θ находятся из решения системы линейных матричных неравенств

в которых Y решение системы (17).

23.6.3. Стабилизация по выходу

Рассмотрим управляемый объект с неизмеряемым состоянием

(18)

в котором- состояние, - управление, - измеряемый выход.

Требуется построить линейный динамический регулятор k-го порядка вида

(19)

где - состояние регулятора, обеспечивающий асимптотическую устойчивость замкнутой системы (18), (19). В частном случае имеем статический регулятор

Уравнение замкнутой системы (18), (19) при имеет вид

(20)

где xc = col (x,xr).

Переформулируем цель управления в виде существования квадратичной функции Ляпунова где такой, что по любой траектории замкнутой системы имеет место

Это условие эквивалентно следующему матричному неравенству

(21)

Вводя матрицу параметров регулятора

(22)

представим матрицу замкнутой системы в виде

(23)

где

(24)

выделяя тем самым слагаемое, содержащее матрицу Θ неизвестных параметров регу­лятора.

Заметим здесь, что синтез стабилизирующего регулятора по выходу k-го порядка в случае сводится к синтезу статического регулятора по выходу для вспомогательного объекта

(25)

где матрицы определены в (24). В самом деле, пусть Тогда матрица замкнутой системы будет совпадать с матрицей (23), и соответствующие блоки матрицы Θ будут определять параметры динамического регулятора k-го порядка. Представим далее неравенство (21) в виде

(26)

или, умножая это неравенство слева и справа на матрицу и обозначая в виде

(27)

Попытаемся, как и в случае измеряемого состояния, применить два способа решения этого неравенства. В соответствии с первым способом мы должны ввести новую мат­ричную переменную

(28)

и получить линейные матричные неравенства

относительно Y и Z. Пусть- некоторое решение этой системы. Тогда для нахождения элементов матрицы в мы должны решить систему (28), которая представляет собой систему уравнений с неизвестными. Как правило, размерность вектора состояния превышает размерность вектора измерений поэтому для найденной пары эта система может оказаться несовместной, даже если требуемый регулятор и существует.

Переходим ко второму способу решения рассматриваемой задачи. Представим нера­венство (26) в виде

с Тогда согласно утверждению 23.5.2 это неравенство разрешимо относительно матрицы Θ тогда и только тогда, когда разрешимы неравенства

(29)

в которых столбцы матрици образуют базисы ядер матрици С0 соответственно. Замечая, что где столбцы образуют базис ядра матрицы и подставляя это выражение в (29), приходим к справедливости следу­ющего утверждения.

Утверждение 4. Объект (18) стабилизируем с помощью регулятора по выходу (19) заданного порядка тогда и только тогда, когда существует× ×-матрица удовлетворяющая следующим условиям:

(30)

Если условия (5.30) выполнены и такая матрица X найдена, то параметры в ис­комого регулятора (19) находятся как решения линейного матричного неравенства (26) относительно переменной Θ.

Введем матрицуи перепишем условия (30) в виде линейных матричных неравенств относительно матриц X и Y:

(31)