Дискретно-непрерывная математика (стр. 82 )

содержащих элемент А111, равна произведению А111М111. При этом

минор М11111 будет, очевидно, также алге­браическим дополнением элемента 111.

Перейдем теперь к рассмотрению общего случая. Пусть —какой-нибудь элемент детерминанта —дополнительный для негоминор и — алгебраическое дополнение. Переставляя в детерминанте

последовательно соседние сечения ориентации мы

можем перевести элемент на место главного элемента А111. Для этого понадобится, очевидно, перестановок сечений ориентации перестановок сечений ориентации перестановок сечений ориентации (k). Так как по свойству III многомерных детерминантов не меняется от перестановок сечений ориентации (i) и лишь меняет знак от перестановки двух сечепий ориентации (j) или (k), то полученный в резуль­тате упомянутых выше преобразований косигнатурный детерминант будет равен В нем, по доказанному, алгебраическая сумма всех членов, содержащих элемент равна произведению Поэтому в исходном детерминанте алгебраическая сумма всех членов, содер­жащих элемент равна или, на основании равенства (3.22),

(3.23)

т. е. равна произведению элемента на его алгебраическое дополнение

Доказательство леммы для остальных кубических кодетерминантов ана­логично.

Из леммы 3.1 вытекают формулы разложения любого из детерминантов кубической матрицы по какому-нибудь его сечению.

Действительно, так как элемент кубического детерминанта принадлежит сечениям ориентации соответственно с номерами то, составляя выражения (3.23) для всех п2 элементов какого-либо из этих сечений и складывая их, мы будем иметь сумму всех членов детерминанта Таким образом, получаем следующие разложения этого детерминанта по любому его сечению каждой из ориентации

Аналогичные разложения имеют место для остальных кубических кодетер-минантов:

Тем самым доказана соответствующая теореме Безу для обычных детерми­нантов

Теорема 3.3. Любой из детерминантов кубической матрицы равен сумме произведений всех элементов какого-нибудь его сечения на их алгебраи­ческие дополнения.

Из теоремы 3.3 вытекает соответствующая теореме Вандермонда для обычных детерминантов

Теорема 3.4. Если в кубическом детерминанте все элементы какого-нибудь сечения альтернативной ориентации умножить на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого сечения той же ориента­ции и полученные произведения сложить, то сумма будет равна нулю (Гарбиери).

В самом деле, если в кубическом детерминанте п-го порядка мы заме­ним μ-e сечение альтернативной ориентации v-м сечением той же ориента­ции (v≠μ; μ, v= 1, 2, ...,п), то составленный таким образом косигнатурный детерминант будет на основании свойства V многомерных детерминантов равен нулю. С другой стороны, этот же детерминант согласно теореме 3.3 равен сумме произведений всех элементов упомянутого выше v-гo сечения в исходном детерминанте на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ему μ-го сечения в том же детерминанте. Таким образом, рассматриваемая сумма равна нулю.

6. Обобщение теоремы 3.3 приводит к разложению любого детерминанта кубической матрицы, соответствующему разложению обычного детерминанта, указанному Лапласом. Чтобы убедится в этом, докажем предварительно следующую лемму.

Лемма 3.2. Алгебраическая сумма членов кубического детерминанта, содержащих в своей совокупности все члены двух каких-нибудь взаимно до­полнительных миноров этого детерминанта, равна произведению одного из них на его алгебраическое дополнение.

Доказательство проведем для одного из кубических кодетерминантов, например, для детерминанта

Рассмотрим сначала частный случай, когда минор v-гo (1 ≤v ≤п-1) порядка М этого детерминанта располо­жен в сечениях ориентации (i) с номерами 1, 2, ..., v и в сечениях ориен­тации (j), (k) с такими же номерами. Тогда дополнительный для М минор М' будет расположен в сечениях ориентации с одними и теми же номерами и будет, следовательно, также алгебраическим дополнением минора V.

Возьмем в детерминантечлен

(3.24)

где

(3.25)

— некоторые перестановки из чисел

(3.26)

— некоторые перестановки из чисел а Ij и Ik — числа инвер­сий в перестановках

Так как ни один из элементов перестановок (3.25) не может составить ин­версий ни с одним из элементов соответственных перестановок (3.26), то

где —числа инверсий в перестановках (3.25), а —числа инверсий в перестановках (3.26). Следовательно, произведение (3.24) может быть представлено в виде

т. e. в виде произведения одного из членов минора М на один из членов минора М'. Вместе с тем произведение любого члена минора М на любой член минора М' является членом детерминанта. Таким образом, алгебраическая сумма членов детерминанта которые содержат в своей совокупности все члены взаимно дополнительных миноров М и М', равна произведению ММ'.

Перейдем теперь к рассмотрению общего случая, когда минор v-гo по­рядка М детерминантарасположен в сечениях ориентации соответственно с номерами

идущими в возрастающем порядке.

Переставляя в детерминанте

последовательно соседние сечения каждой из ориентации мы можем перевести минор М в первые v сечений всех ориентаций, не меняя при этом дополнительного для М мино­ра М'. Для этого понадобятся, очевидно,