Дискретно-непрерывная математика (стр. 113 )

10. Узнать, согласно критерию упражнения 8, приводится ли трилинейная форма

к билинейной форме и если приводится, то для неизвестных допускающих это приведение, указать все виды решений по формулам (1.2).

11. Если условие упражнения 8 не выполняется, то система (1.1) несовместна и тогда каждая из 2р-2 формул (1.2) выражает среднее значение (в смысле Шюке, который рассматривает дробь как простую среднюю величину между двумя данными дробями ) между значениями неизвестпых определяемыми по правилу Крамера из систем линейных уравнений

где каждая система состоит из п уравнений, у которых коэффициенты при неизвестных образуют двумерное трансверсальное сечение матрицы А. Среднее арифметическое из этих 2р-2 средних, если все они имеют определенные конечные значения, может служить тогда приближенным значением корня системы (1.1). Найти таким методом приближенное решение несовместной системы линейных уравнений:

составленной для приведения трилинейной формы

к билинейной форме и сравнить с приближенным решением той же системы, полученным по способу наименьших квадратов.

Упражнения к п.26.2

1. Составить трехмерные миноры 2-го порядка с сигнатурой

порождаемые матрицей

2. Доказать, что g-мерный ранг по g— 1 индексам р-мерной матрицы но превышает наименьшего из h-мерных рангов ее по h — 1 индексам из этих g—1 индексов (Хичкокк).

3. Если двумерный ранг по одному какому-либо индексу р-мерной матрицы равен 1, то ее трехмерные ранги по двум индексам, из которых один есть упомянутый выше индекс, также равны 1. Доказать (Хичкокк).

4. Показать, что все трехмерные ранги по двум индексам р-мерной матрицы равны 1, если р —1 каких-нибудь ее двумерных рангов по отдельным индексам равны 1.

5. Если трехмерный ранг по каким-нибудь двум индексам р-мериой матрицы п-го порядка равен п, то ее двумерные ранги по каждому из этих индексов также равны п. Доказать.

6. Показать, что все двумерные ранги р-мерной матрицы п-го порядка А равны п, если трехмерные ранги ее по всем парам индексов, охватывающим в своей совокупности все индексы матрицы А, равны п.

7. Если трехмерный ранг по одной какой-либо паре индексов р-мерной матрицы равен 1, то ее трехмерный ранг по другой паре индексов, имеющей общий индекс с пер­вой парой, и двумерный ранг по этому общему индексу также равиы 1. Доказать.

8. Показать, что все двумерные ранги р-мерной матрицы равны 1, если равны 1 все ее трехмерные ранги.

9. Обобщить упражнения 2—8 на случай рангов по кратным индексам.

Упражнения к п.26.3

1. Если вторичный ранг симметрической кубической матрицы 2-го порядка А равен 2, то и первичный ранг r матрицы А (замечание 2.3) равен 2. Если же то r на единицу больше, чем если только матрица А не нулевая. Доказать.

2. Дана кубическая матрица 4-го порядка Пусть

— кубические миноры 4-го порядка с сигнатурами порождаемые матрицей Ф.

Доказать, что все ранги (двумерные, трехмерные и четырехмерные) составленных пз этих миноров симметрических четырехмерных матриц 4-го порядка

являются арифметическими инвариантами относительно элементарных преобразований матрицы А.

3. Кубические миноры 3-го порядка с сигнатурой порождаемые матрицей могут быть представлены в виде

где индексы принимают любые из значений 1, 2, 3, 4 и каждый из рядов индексов

образует последовательность в некотором порядке чисел 1, 2, 3, 4. Алгебраическими дополнениями элементов кубических миноров 4-го порядка с сигнатурой , порождаемых матрицей А, будут выражения

из которых можно составить расширенную кубическую матрицу порядка (64, 4, 4)

Подобным образом составляются кубические матрицы того же порядка

и,из алгебраических дополнений элементов кубических миноров 4-го порядка с сигнатурами порождаемых матрицей А.

Доказать, что все ранги (двумерные и трехмерные) матриц являются арифметическими инвариантами относительно элементарных преобразований матрицы А.

4. Алгебраические дополнения кубических миноров 2-го порядка с сигнатурами порождаемых матрицей представляются выражениями (3.5i), (3.5j), (3.5k), где индексы α, β могут принимать любые из значении 1, 2, 3, 4, а μ, так же как и v, есть любое сочетание из индексов 1, 2, 3, 4 по два, так-что каждый из рядов индексов

образует последовательность в некотором порядке чисел 1, 2, 3, 4. Составленные из этих выражений квадратные матрицы 24-го порядка можно написать в виде клеточных матриц 4-го порядка (3.6), клетки которых — квадратные матрицы 6-го по­рядка (3.7), где индексыv имеют указанные выше значения.

Доказать, что ранги матриц будут арифметическими инвариантами относительно элементарных преобразований матрицы А.

5. В упражнениях 2, 3, 4 рассмотреть случай, когда матрица А—симметрическая.

6. Показать, что в случае, когда есть симметри­ческая матрица с вещественными элементами, сигнатура σС совпадающих в этом случае симметрических квадратных матриц (см. упражнение 4) будут арифмети­ческим инвариантом относительно вещественных симметрических элементарных преобра­зований матрицы А.

7. Дана кубическая матрица п-го порядка Пусть

— кубические миноры п-го порядка с сигнатурами порождаемые матрицей А.

Доказать, что все ранги (двумерные, трехмерные, ..., п-мерные) составленных из этих миноров симметрических п-мерных матриц п-го порядка

являются арифметическими инвариантами относительно элементарных преобразовании матрицы А. Отметить случай, когда матрица А — симметрическая.

Упражнения к п. 26.4

1. Дискриминант ∆ двойничной линейно-квадратичной формы

определяемый равенствами (4.2), есть ее относительный инвариант веса 2 для ряда пе­ременных и веса 4 для ряда переменных Доказать.