Дискретно-непрерывная математика (стр. 68 )

Пример 5. Стабилизация по выходу двухзвенного перевернутого маятни­ка регулятором полного порядка: объект описывается уравнениями (см. также примеры 2 и 4)

Синтезируем динамический регулятор полного (четвертого) порядка по углу откло­нения нижнего маятника.

В данном случае неизвестными элементами матрицы Θ являются двадцать пять параметров регулятора, являющихся элементами матриц

Они могут быть найдены как решение линейного мат­ричного неравенства (26) относительно Θ, в котором матрицы опреде­лены в (32), а блочная матрица X вида (33) порядка 8×8 находится следующим образом. Решается система линейных матричных неравенств (34) и (38), где

относительно неизвестных матриц Х11 и Y11 порядков 4×4 и далее матрицы Х12 и Х22 определяются согласно формулам (39). Для данного примера были получены следующие результаты

В данном случае матрица замкнутой системы имеет следующие собственные значе­ния

лежащие слева от мнимой оси.

Полученный регулятор содержит большие по величине коэффициенты, что за­трудняет его практическую реализацию. Существует возможность построить ре­гулятор, матрица Θ которого имеет минимальную норму. В этом случае следует использовать команду

В рассматриваемом примере это приводит к следующему результату

и тогда матрица замкнутой системы будет иметь следующие собственные значения

Рассмотрим ещё один важный частный случай - стабилизация с помощью стати­ческого регулятора по выходу. В этом случае в уравнениях регулятора (19) имеем

условие (38) автоматически выполняется, и форму­лировка задачи А совпадает с формулировкой задачи В.

Утверждение 6. Объект (18) стабилизируем с помощью статического регулято­ра по выходу тогда и только тогда, когда существуют две взаимнообратные (пх×пх)-матрицы удовлетворяющие линейным матричным неравенствам

(41)

23.6.4. Стабилизация с использованием наблюдателей

Рассмотрим ещё один подход к синтезу стабилизирующих регуляторов по измеряемому выходу, основанный на построении наблюдателей состояния объекта. Начнём с наблю­дателя полного порядка. Для управляемого объекта

(42)

в котором- состояние,- управление,- измеряемый выход, выберем регулятор в форме наблюдателя состояния полного порядка

(43)

где - состояние регулятора. Требуется определить матрицы К и L так, чтобы замкнутая система (42), (43) была асимптотически устойчивой.

Введем вектор невязки и в качестве состояния замкнутой системы выберем вектор col (x, е), который удовлетворяет уравнению

Для асимптотической устойчивости этой системы необходимо и достаточно, чтобы мат­рицы А + ВК и А + LC были гурвицевы или, другими словами, чтобы пары матриц (А, В) и были стабилизируемы. Применяя теперь утверждение 1, в которомна языке линейных матричных неравенств приведен критерий стабилизируемости и да­на параметризация всех обратных связей, стабилизирующих данную пару, приходим к следующему результату.

Утверждение 7. Объект (42) стабилизируем с помощью регулятора по выходу вида (43) тогда и только тогда, когда линейные матричные неравенства

(44)

разрешимы относительно переменныхи

В случае разрешимости этих неравенств параметры регулятора находятся следующим обра­зом

Теперь синтезируем регулятор на основе наблюдателя Люенбергера. Пусть в объекте управления (42) ранг матрицы С равен Обозначим

Напомним необходимые сведения из теории наблюдателей Люенбергера.

Рассмотрим наблюдатель

(45)

где - состояние наблюдателя, у и и - измеряемый выход и управление в объекте (42), а матрицы F, Т и Q удовлетворяют матричному уравнению

(46)

Введём вектор и заметим, что в силу уравнений объекта и наблюдателя для него выполняется

Таким образом, если матрица F гурвицева, то вектор z асимптотически отслеживает вектор Тх и в совокупности с вектором у даёт оценку вектора состояния объекта. Не умаляя общности, примем, что

Это всегда может быть достигнуто путём соответствующей замены переменных. Разо­бьём матрицы А и В на блоки

где -матрица, а -матрица (порядки остальных блоков определяются единственным образом). Выберем матрицы удовлетворяющие уравнению (46), следующим образом

(47)

где матрицу L следует определить из условия, что матрица F гурвицева. Заметим, что это возможно тогда и только тогда, когда пара стабилизируема.

В соответствии со сделанным выбором возьмём регулятор в виде

(48)

где матрицы К1 и К2 подлежат определению из условия асимптотической устойчиво­сти замкнутой системы (42), (48). Подставляя управление в исходную систему и учитывая, чтополучим

где

Таким образом, матрица К находится из условия, что матрица А + ВК должна быть гурвицевой, а затем с учётом уже найденной матрицы L определяются матрицы регу­лятора K1 и К2.

Применяя теперь снова утверждение 1, приходим к следующему результату.

Утверждение 8. Объект (42) стабилизируем с помощью регулятора по выходу пониженного порядка вида (48) тогда и только тогда, когда линейные матричные неравенства

(49)

разрешимы относительно переменных и В случае разрешимости этих неравенств параметры регулятора находятся следующим обра­зом

Таким образом, применение наблюдателя Люенбергера позволяет осуществлять син­тез регуляторов по выходу пониженного порядка на основе решения только линейных матричных неравенств.