Дискретно-непрерывная математика (стр. 115 )

22. Вычислить, применяя теорему 4.12:

а) совместный относительный инвариант веса 4 двух двойничных форм 4-й степени

б) совместный относительный инвариант веса 6 двух двойничных форм 6-й степени

23.Вычислить, применяя теорему 4.13, все относительные коварианты каждой из форм

представляе­мые ее гессианами.

24. Доказать, что всякая форма нечетной степени 2q+l от четного числа п пере­менных имеет q инвариантов степени п2 относительно коэффициентов данной формы (Гегенбауер).

25. Если форма приводится к любой степени линейной формы, то все ее гессианы, начиная с двумерного гессиана, равны нулю. Доказать (Лека).

26. Доказать, что (р+1)-мерный якобиан системы п ковариантов фор­мы f от п переменных, веса которых равны соответственно есть новый ковариант формы f веса(Гегенбауер).

27. Пусть дана система форм от n переменных степеней Выражение

где в (p+1)-мeрном детерминанте наивысшего рода символ (±)s обозначает + или ± в зависимости от четности числа р, будем называть (p+1)-м е р н ы м якобианом системы форм

Доказать, что этот якобиан есть совместный относительный ковариант системы форм вec которого равен π (Эшерих).

28. Дана система п различных форм от п переменных

Доказать, что кубический детерминант n-го порядка

где каждое сечение ориентации (i) представляет симметрическую квадратную матрицу, элементами которой являются произведения двух частных производных 1-го порядка соответствующей формы, есть совместный относительный ковариант веса 2 форм данной системы (Гедрик).

29. Даны две системы форм от п переменных причем формы каждой системы различны между собой. Доказать, что кубический детер­минант n-го порядка

есть совместный относительный ковариант веса 2 данных 2n форм (Гедрик).

30. Упражнения 28 и 29 распространить на (p+1)-мерныe детерминанты n-го порядка.

Упражнения к п. 26.5

1. Найти двумерные и трехмерные ранги кубической λ-матрицы 3-го порядка

2. Найти в полe вещественных чисел все инвариантные множители и элементарные делители кубической матрицы 4-го порядка

3. Если кубическая λ-матрица —диагональная и каждый диагональный эле­мент ее, отличный от постоянной, представлен в виде произведения степеней различных полиномиальных множителей, неприводимых в поле Р, на некоторую постоянную, то степени эти в точности равны элементарным делителям матрицы в поле Р. Доказать.

4. Показать, что симметрическая полиномиальная кубическая матрица 3-го порядка

имеет инвариантные множители элементарные делители и характеристику

5. Показать, что симметрическая полиномиальная кубическая матрица 3-го порядка

имеет инвариантные множители элементарные делители и характеристику

6. Квадратные детерминанты

составленные из кубических миноров 2-го порядка с сигнатурами порождаемых пучком асимметрических кубических матриц 2-го порядка тождественно равны между собой, и общее значение их — дискриминант пучка двойничных трилинейных форм ассоциированного с — есть относительный инвариант веса 2 для каждого ряда переменных этого пучка. Доказать.

7. Распространить теорему 5.7 на пучки двойничных трилинейных форм.

8. Пусть -мерная λ-матрица n-го порядка и — наибольший общий делитель (со старшим коэффициентом, равным единице) порождаемых матрицей -мерных миноров v-гo порядка с сигнатурой

или

в зависимости от четности — совокупность чисел 1, 2, ..., р, расположенных в некотором порядке), где v не превышает (р — т+1)-мерного ранга по р—т индексамматрицы М(λ).. Доказать, что остается неизменным при элементарных преобразованиях матрицы М(λ).

9. Показать, что делится на (см. упражнение 8).

10. Полиномы

где(см. упражнение 9), будем называть инвариантными множителями по р—m индексам матрицы М(λ). Доказать, что эти множители являются инвариантами относительно элементарных преобразований матрицы М(λ).

11. Разложим инвариантные множители по р—т индексам матрицы М(λ) (см. упражнение (10) на неприводимый в поле Р множители

(5.14)

где — все различные между собой неприводимые в поле Р полиномы (со старшими коэффициентами, равными единице), входящие в состав и

Все отличные от единицы степени среди в разложении (5.14) будем называть элементарными делителями по р—т индексам матрицы М(λ) в поле Р. Доказать, что эти делители являются инвариантами относительно элементарных преобразовании матрицы М(λ).