Дискретно-непрерывная математика (стр. 27 )

17. Пусть имеет сингулярное разложение

и пусть —унитарно инвариантная норма на Мп. Показать, что для любой унитарной матрицы справедливы неравенства

Указание. Показать, чтов любом сингулярном разложении любой унитарной матрицы U; поэтому нижняя оценка сразу следует из теоремы 21.4.51. Что касается вывода верхней оценки, то нужно использовать неравенства для сингулярных чисел (аналоги аддитивных неравенств Вейля для собственныхзначений) из задачи 16 21.3 для доказательства соотношений

После этого применить (21.4.48).

18. Руководствуясь как образцом неравенством (21.4.53), где А была невырожденна, найти достижимую нижнюю оценку для считая заданной матрицей ранга произвольной матрицей меньшего ранга k, а унитарно инва­риантной нормой.

Микромодуль 61.

Произведения и диагнолизация

21 .5. Теорема о произведении Шура

Особенно простым (и на первый взгляд наивным) способом композиции матриц является поэлементное умножение.

21.5.1. Определение. Пусть даны матрицы

Произведением Адамара (адамаровым произ­ведением) матриц А и В называется матрица

Адамарово произведение часто называют еще произведением Шура. Подобно сложению матриц, адамарово умножение ком­мутативно, и оно значительно проще обычного правила матрич­ного умножения.

Имеется несколько различных ситуаций, естественным образом приводящих к адамарову произведению. Пусть, например, — непрерывные периодические функции с периодом и пусть

Свертка

имеет тригонометрические моменты

для которых верны равенства

Поэтому тёплицева матрица тригонометрических моментов функ­ции есть адамарово произведение тёплицевых матриц три­гонометрических моментов для

Если обе функции принимают только вещественные

неотрицательные значения, то это же справедливо в отношении их свертки Следовательно, как показано в (21.0.5), матрицы положительно полуопределены. Это частное проявление теоремы о произведении Шура: адамарово произведение двух положительно полуопределенных матриц само положительно полуопределено.

В качестве еще одного примера рассмотрим интегральный оператор

ядро которого непрерывно на квадрате

кроме того, Если имеется второе ядро Н(х, у), то

можно рассмотреть (поточечное) произведение

и связанный с ним интегральный оператор

Линейное отображение есть естественный предел матрично-векторных произведений (получаемых при аппроксима­ции интеграла конечными суммами Римана), поэтому многие свойства интегральных операторов могут быть получены надле­жащим предельным переходом из результатов, известных для матриц. Поточечное произведение интегральных ядер приводит к интегральному оператору, который с этой точки зрения яв­ляется естественным непрерывным аналогом адамарова произ­ведения матриц.

Если для интегрального ядра при всех ,

верно неравенство

то К(х, у) называют положительно полуопределенным ядром. Согласно классической теореме Мерсера, для положительно по­луопределенного ядра К(х, у), непрерывного на квадрате найдутся положительные числа (называемые собственными значениями) и непрерывные функции (называемые собственными функциями), такие, что

причем ряд сходится абсолютно и равномерно на

Если оба ядра К(х, у) и Н(х, у) непрерывны и положительно полуопределены на одном и том же квадрате то H (х, у) также имеет представление

абсолютно и разномерно сходящееся на причем все Прямое перемножение соответствующих рядов приводит к представлению на (поточечного) произведения ядер

оно снова сходится абсолютно и равномерно. Тогда

т. е. L(x,y) также положительно полуопределено. Это опять таки проявление теоремы о произведении Шура.

Упражнение. Показать, что адамарово произведение эрмито­вых матриц А и В всегда эрмитово, в то время как обычное про­изведение эрмитовых матриц будет эрмитовым тогда и только тогда, когда сомножители коммутируют.

Упражнение. Проверить, что матрицы

в их адамарово произведение положительно определены, тогда как обычное произведение АВ не будет положительно по­луопределенной матрицей. Показать, что, тем не менее, соб­ственные значения матрицы АВ положительны.

Основной причиной введения адамарова произведения яв­ляется для нас то обстоятельство, что оно (в отличие от обыч­ного способа перемножения матриц) оставляет инвариантным конус положительно полуопределенных матриц и дает еще один пример аналогии между положительно полуопределенными мат­рицами и неотрицательными числами.

Нам потребуется в дальнейшем следующее замечание, имею­щее и самостоятельное значение.

Всякая матрица А может быть представлена в виде суммы матриц ранга 1 с числом слагаемых, равным рангу А. В случае положительно полуопределенной матрицы А все слагаемые тоже можно выбрать положительно полуопределенными.

21.5.2.Теорема. Положительно полуопределенная матрица имеющаяранг k, может быть записана в виде

где —ортогональная система ненулевых векторов из