Дискретно-непрерывная математика (стр. 38 )

и только в этом случае.

19. Пусть матрицаположительно определена. Пока­зать, что

Указание. Представить А в виде где

все и —унитарная матрица; тогда

Использовать неравенство между арифме­тическим и геометрическим средними и неравенство Адамара из теоремы 21.8.1 для обоснования соотношений

Равенство в них возможно.

20. Квазилинеаризацию, полученную в задаче 19, использо­вать для доказательства неравенства Минковского из теоремы 21.8.8.

21. Представим положительно полуопределенную матрицу, в следующей блочной форме:

Используя задачу 18 из § 21.2 и формулу приведения для опрe - делителя из задачи 15 § 18.1, показать, что

Рассуждая по индукции и привлекая это неравенство, дать дру­гое доказательство неравенства Адамара из теоремы 21.8.1.

Модуль 22

Неотрицательные матрицы

Микромодуль 62

Неотрицательные и положительные матрицы

22.0. Введение

Предположим, что имеется городов и между ними население мигрирует следующим образом: для всех i≠j одновременно в 8 часов каждое утро одна и та же часть aij населения города j переезжает в город i, а часть aij населения города j остается в городе j. Таким образом, если обозначает население (для определенности можно условиться, что все переезды завершаются, например, к полудню и число жителей т-го дня определяется, скажем, в пол­день. При этом по дороге никто не теряется и в этой стране отсутствует смертность и рождаемость) города i на m-й день, то мы имеем рекуррентное соотношение

связывающее распределения населения на m-й и т+1-й дни. Из коэффициентов миграции составим -матрицу образуем также вектор распределения населения Тогда

где —начальное распределение населения. Поскольку коэф­фициенты аij указывают доли населения,и для всех

Чтобы строить разумные долгосрочные планы развития го­родского сервиса и капитальных вложений, органам управле­ния хотелось бы знать, каким образом общее число жителей будет распределено в достаточно далеком будущем; другими словами, представляет интерес асимптотическое пове­дение вектора при больших т. Так как оче­видно, нужно исследовать асимптотическое поведение мат­рицы

В качестве примера рассмотрим детально случай п = 2.

Имеем и, положив и

получаем

Нас интересуют степени при больших т. Если матрица А диагонализуема, то матрицу Ат можно найти в явном виде. Начнем с того, что вычислим для А собственные значения: и Так как то

так что т. е. спектральный радиус матрицы А равен ее собственному значению. Более того, за исключением тривиального случая(когда А

разложима), собственное значение является простым.

Если то матрица А имеет собственные векторы

и отвечающие соответственнои Понятно, что А в этом случае диагонализуема. Получаем где

Заметим, что компоненты собственного вектора х неотрица­тельны, а если А неразложима, то они положительны. Если не равны одновременно 1, то и потому при Таким образом, в этом случае

и как следствие равновесное распределение населения имеет, вид

Обратим внимание на то, что равновесное распределение совер­шенно не зависит от начального распределения. Матрица Ат стремится к предельной матрице со столбцами, пропорциональ­ными собственному вектору х, отвечающему собственному зна­чению 1 (которое равно спектральному радиусу матрицы А), и предельное распределение пропорционально тому же самому вектору.

Два особых случая, не разобранные выше, легко анализи­руются по отдельности. Если то и так что предельное распределение оказывается зависящим от начального распределения. Если то и два города каждый день обмениваются всеми своими жителями. Степени матрицы A не стремятся ни к какому пределу, то же относится и к распре­делению населения, если с самого начала города имели разное число жителей. Однако достигается в некотором смысле «сред­нее равновесие», а именно

Итак, в этом примере мы выяснили, что и справедливы следующие предложения:

1. Спектральный радиус равен именно собствен­ному значению матрицы А, а не просто модулю какого-то ее собственного значения.