2. Собственный вектор х, отвечающий собственному значению 
можно выбрать так, чтобы у него были неотрицательные компоненты, которые будут положительными, если А неразложима.
3. Если все элементы матрицы А положительны, то 
является простым собственным значением, строго большим по модулю, чем остальные.
4. Если все элементы матрицы А положительны, то
существует и это есть матрица ранга 1 со столбцами, пропорциональными собственному вектору х.
5. Во всех случаях существует
В действительности эти выводы в основном остаются в силе и при
но общий случай уже не удается исследовать с помощью той простой техники, которая применялась выше. При 
диагонализуемость матрицы А совсем не обязательна, даже если все элементы в А положительны. Необходима новая техника исследования, которая и будет развита в этой главе.
22.1. Неотрицательные матрицы — неравенства
и общие замечания
Пусть
и 
Будем писать
Противоположные отношения 
определяются сходным образом. По определению
Матрица А называется неотрицательной, если 
и положительной, если 
Ниже приводятся простые факты, вытекающие из определений.
Упражнение. Пусть 
Доказать следующие предложения:
(22.1.1) 
для всех
тогда и только тогда, когда А = 0.
(22.1.2)
(22.1.3)
(22.1.4) Если 
и 
то это еще не означает, что 
если хотя бы одно из чисел п или r больше 1.
(22.1.5) Если
и 
то 
(22.1.6) Если 
и
то
(22.1.7) Если 
и
то
Упражнение. Теперь предположим, что 
и
х, у Сn. Доказать следующие предложения: (22.1.8)
(22.1.9)
(22.1.10)
для всех
(22.1.11) Если
и
то
(22.1.12) Если то 
для 
всех 
(22.1.13) Если то 
если 
то 
то 
для всех 
(22.1.14) Если 
.
I и 
то
(22.1.15) Если 
и 
то
(22.1.16) Если |А|≤|В|, то ||А||Е≤||В||Е.
(22.1.17)
Очевидно, что последние два утверждения имеют место по отношению к любой абсолютной норме, и евклидова норма, или норма Фробениуса (l2-норма) есть только один из примеров. Первое приложение этих простых соотношений — получение неравенств, оценивающих спектральные радиусы.
22.1.18. Теорема. Пусть
Если то
Доказательство. Согласно (22.1.10) и (22.1.12), для всех m =1, 2, ... имеем 
Далее, в силу (22.1.16) и (22.1.17)
Впределе при 
используя (19.6.14), получаем
22.1.19. Следствие. Пусть Если 
то
22.1.20. Следствие. Пусть 
и 
Если 
— произвольная главная подматрица в А, то
В частности,
Доказательство. Пусть
и обозначает какую-то
главную 
-подматрицу в А. Рассмотрим также матрицу А — ее размер 
и она получается из А заменой на нули всех элементов, не входящих в 
причем элементы, принадлежащие 
остаются неизменными на своих местах. Тогда
и 
стало быть, в 
силу следствия 22.1.19.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 |
