Дискретно-непрерывная математика (стр. 108 )

(4.25')

Отождествляя с при мы можем рассматривать р-линейные формы F и F' как полярные соответственно форме р-й степени и форме той же степени

в которую переводится f невырожденным линейным преобразованием с матрицей а.

Следовательно, равенство (4.25') имеет место и для форм р-й сте­пени f, f'. Тем самым доказана

Теорема 4.11. Гипердетерминант

симметрической р-мерной матрицы п-го порядка соответствующей форме

четной степени р, есть относительный инвариант этой формы, вес которого равен р (Цейфус: обобщение известной теоремы: дискриминант квадратичной формы (т. е. детер­минант соответствующей матрицы) есть ее относительный инвариант веса 2.).

Замечание 4.9. Упоминаемый в теореме гипердетерминант очевидно, равен выражению

которое будем называть р-мерным гессианом формы f четной степени р.

Так же как и теорема 4.11, доказывается более общая

Теорема 4.12. Детерминант наивысшего рода при р четном или

при р нечетном симметрической относительно индексов -мерной матрицы п-го порядка соответствующей системе п форм р-й степени

есть совместный относительный инвариант этих форм, вес которого равен р (Цейфус: в частности, квадратный детерминант системы п линейных форы от п переменных есть их совместный относительный инвариант веса 1.)

Замечание 4.10. Теорема 4.12 сохраняет силу и в том случае, если среди п форм четной степени будут одинаковые. Поэтому, если рассматри­вается система различных форм четной степени, число которых меньше числа переменных, то, повторяя всеми возможными способами те или иные из этих форм надлежащее число раз, мы получим семейство относительных инвариантов данной системы. Например, если дана система двух тройнич­ных квадратичных формто, образуя две системы форм мы будем иметь два совместных относительных инварианта Салмона.

Если все п форм системы одинаковы, то имеет место замечание, ана­логичное замечанию 4.8.

Теорема 4.13. Если π — какое-нибудь четное число, не превышающее

степени р формы

то п-мерный гессиан этой формы

есть ее относительный ковариант веса π (Гегенбауер).

(При π =2 имеем, очевидно, обычный гессиан формы f ).

Действительно, полагая

где π — четное число, не превышающее р, мы можем представить форму f в виде

Соответствующая форма рассматриваемая как форма степени π от переменных имеет на основании теоремы 4.11 относительный инвариант веса π, равный гипердетерминанту п-го порядкакоторый, как известно, будет также относительным ковариантом веса π формы f. Согласно замечанию 4.9,

Но, как нетрудно убедиться,

Следовательно,

Следствие. Если степень р формы f — нечетная то, давая π все возможные значения, мы получим q ковариантов формы f, степени которых относительно переменных будут:

Если же степень р—четная то, кроме инварианта формы f, который получим при мы будем иметь еще q — 1 ковариантов этой формы, степени которых относительно переменных будут

Пусть дана система п форм от п переменных степени которых равны соответственно и пусть π — какое-нибудь число, не превышающее наименьшего из чисел Выражение

(4.26)

где в (π+1)-мерном детерминанте наивысшего рода символ (±)s обозначает + или ± в зависимости от четности числа π и каждое из п сечений первой ориентации (i) представляет симметрическую π-мерную матрицу, элемен­тами которой являются частные производные π-ro порядка соответствующей формы, будем называть -мерным якобианом системы п форм При π =1 получаем, очевидно, обычный якобиан этой системы.

Так же как и теорема 4.13, доказывается более общая

Теорема 4.14. (π+1)-мерный якобиан (4.26) системы форм есть их совместный относительный ковариант веса π (Эшерих).

Из этой теоремы, если все п форм будут одной и той же степени р и п π=р, вытекает теорема 4.12, так как в этом случае (р+1)-мерный якобиан системы этих форм будет равен

т. е.

Еслиже все формы одинаковы, т. е. и число π — четное, не превышающее степени р формы f, то получаем теорему 4.13, так как тогда в -мерном детерминанте выражения (4.26) все п сечений 1-й ориентации (i) одинаковы и, следовательно, это выражение будет равно π - мерному гессиану формы f, умноженному на п!.

Вообще, если число данных форм, предполагаемых различными, меньше числа переменных, мы получим систему относительных ковариантов этих форм, повторяя те или иные из них всеми возможными способами надлежа­щее число раз. Можно заменить ту или иную форму данной системы одной из ее степеней или даже однородной функцией данных форм, — все равно обобщенный якобиан, составленный по формуле (4.26), будет относительным ковариантом первоначальных форм.

26.5. Инвариантные множители и элементарные делители полиномиальной пространственной матрицы

1. Переходя к вопросу об инвариантах полиномиальной пространствен­ной матрицы, мы для ясности изложения будем рассматривать кубическую λ-матрицу

Полученные результаты нетрудно уже будет распространить на полиномиальные матрицы высших измерений (упражнения 8 — 12).

Понятие рангов пространственной матрицы с постоянными, т. е. непо­линомиальными элементами и их инвариантные свойства естественным образом обобщаются и на полиномиальные матрицы.

Так, двумерным рангом матрицы по одному из индексов напримерназываем, ранг прямоугольной матрицы