Дискретно-непрерывная математика (стр. 1 )

Парадигма развития науки

Методологическое обеспечение

А.Е. Кононюк

ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНАЯ МАТЕМАТИКА

Книга 5

Матрицы

Часть 5

Киев

Освіта України

2012

УДК 51 (075.8)

ББК В161.я7

К 213

Рецензенты: ин - д-р техн. наук, проф. (Национальный авиационный университет).

К65 Дискретно-непрерывная математика. Матрицы. К.5.Ч.5.

К.4:"Освіта України", 2012. - 672 с.

ISBN 978-966-7599-50-8

Многотомная работа содержит систематическое изложение математических дисциплин, исспользуемых при моделировании и исследованиях математических моделей систем.

В работе излагаются основы теории множеств, отношений, поверхностей, пространств, алгебраических систем, матриц, графов, математической логики, теории формальных грамматик и автоматов, теории алгоритмов, которые в совокупности образуют единную методолгически взамосвязанную математическую систему «Дискретно-непрерывная математика».

Для бакалавров, специалистов, магистров, аспирантов, докторантов и просто ученых и специалистов всех специальностей.

ББК В161.я7

ISBN 978-966-7599-50-8 ©А. Е. Кононюк, 2012

Оглавление

Модуль 21. Положительно определенные матрицы……………………6

Микромодуль 59. Определения, свойства, характеризации……….6

21.0. Введение………………………………………………………...6

21.1. Определения и свойства………………………………………11

21.2. Хaрактеризации………………………………………………..15

Микромодуль 60. Полярная форма и сингулярное разложение……29

21.3. Полярная форма и сингулярное разложение………………...29

21.4. Примеры и приложения сингулярного разложения………...41

Микромодуль 61. Произведения и диагнолизация…………………..81

21 .5. Теорема о произведении Шура………………………………81

21.6. Конгруэнтность: произведения и одновременная

диагнолизация…………………………………………………………….88

21.7. Упорядочение, индуцированное положительной полуопределенностью……………………………………………………92

21.8. Неравенствa для положительно определенных матриц…….99

Модуль 22. Неотрицательные матрицы…….119

Микромодуль 62. Неотрицательные и положительные матрицы..117

22.0. Введение……………………………………………………...117

22.1. Неотрицательные матрицы — неравенства и общие

замечания………………………………………………………………...120

22.2. Положительные матрицы……………………………………125

22.3. Неотрицательные матрицы………………………………….132

22.4. Неразложимые неотрицательные матрицы………………...134

Микромодуль 63. Примитивные и стохастические матрицы…….150

22.5. Примитивные матрицы……………………………………...150

22.6. Общая предельная теорема………………………………….157

22.7. Стохастические и двоякостохастические матрицы………..158

22.8. Свойства семейств стохастических матриц………………..161

Модуль 23. Линейные матричные неравенства в синтезе законов управления ………………………………………………………………176

Микромодуль 64. Линейные матричные неравенства……………...176

23.1. Введение……………………………………………………...176

23.2. Определения и свойства……………………………………..179

23.3. Основные задачи……………………………………………..184

23.4. Неравенство. ………..187

23.4.1. Условия разрешимости…………………………………..187

23.4. 2. Параметризация всех решений ………………………..192

23.4.3. Система неравенств………………………………………195

23.5.4. Решение линейных матричных неравенств в пакете

MATLAB………………………………………………………………..198

Микромодуль 65. Стабилизация объек­тов ………………………..201

23.6. Стабилизация………………………………………………..201

23.6.1 Стабилизация по состоянию…………………………..201

23.6.2. Одновременная стабилизация нескольких

объек­тов………………………………………………………………….205

23.6.3. Стабилизация по выходу………………………………207

23.6.4. Стабилизация с использованием наблюдателей……..220

23.6.5. Стабилизация дискретных объектов……………………225

23.7. Модальное управление………………………………………229

23.7.1. LMI-области……………………………………………230

23.7.2. Синтез модального управления……………………….233

Модуль 24. Пространственные матрицы – их структура и

операции над ними………………………………………………………240

Микромодуль 66. Структура пространственной матрицы

и ее детерминантов.... ………………………………………………...246

24.1. Определения.............................................................................246

24.2. Основные свойства детерминантов пространственной

матрицы.....................................................................................................267

24.3. Разложение детерминантов пространственной

матрицы.....................................................................................................273

Модуль 25. Операции над пространственными матрицами

и их детерминантами……………………………………………………300

25.1. Сложение пространственных матриц. Умножение пространственной ма­трицы на число.....................................................300

25. 2. Умножение двух пространственных матриц........................303

25. 3. Умножение нескольких пространственных матриц............317

25.4. Элементарные преобразования

пространственной матрицы.....................................................................327

25.5. Клеточные пространственные матрицы и операции над

ними………………………………………………………………………336

Модуль 26. Инварианты пространственных матриц

и их классификация……………………………………………………..357

26.1. Двумерные ранги..................................................................... 357

26.2. Многомерные ранги......................... ………………………...363

26.3. Ранги различных степеней.......................................................370

26.4. Инварианты и коварианты алгебраических форм.................382

26.5. Инвариантные множители и элементарные делители полиномиальной пространственной матрицы.......................................403

Модуль 27. Классификация трилинейных, линейно-квадратичных

и кубических двойничных форм.......................................................... .431

27.1. Классификация двойиичпых трилинейных форм.................. 431

27.2. Классификация двойничных линейно-квадратичных форм.. 451

27.3. Классификация двойничных кубических форм............ ….....461

Модуль 28. Классификация кубических тройничных форм............... 478

28.1. Проективная классификация кубических тройничных форм.478

28.2. Аффинно-проективная классификация

кубических тройничных форм…. …………………………………..505

Модуль 29. Пучки двойничных н тройничных кубических форм......561

29.1. Классификация пучков кубических двойничных форм........ 561

29.2. Классификация пучков кубических тройничных форм.........598

29.3.Применение многомерных мат­риц для исследования гиперкомплексных чисел и конечномерных алгебр…………………..623

Ответы и указания к упражнениям...................................................632

Приложения……………………………………………………………...645

Блочные матрицы…………………………………..645

Линейные матричные уравнения………………….651

Линейные уравнения и псевдообратные матрицы..653

Приложение D. Структурные системные свойства…………………656

Литература.................................................................................................662

Модуль 21

Положительно определенные матрицы

Микромодуль 59

Определения, свойства, характеризации

21.0. Введение

Многие приложения приводят естественным образом к классу эрмитовых матриц со специальным свойством положительности. Эрмитовы (и, в частности, вещественные симметричные) мат­рицы с этим свойством дают к тому же одно из возможных обобщений на матричный случай понятия положительного чис­ла. Это обстоятельство часто позволяет предугадать свойства н применения положительно определенных матриц. Ниже при­ведены примеры ситуаций, в которых возникают эти специаль­ные эрмитовы матрицы.

Гессианы, минимизация и выпуклость

Пусть f(x) — гладкая вещественнозначная функция, опреде­ленная на некоторой области Если — внутрен­няя точка этой области, то, согласно теореме Тейлора, для то­чек близких к у, справедливо равенство

Если у — критическая точка функции f, то все частные производные первого порядка обращаются в этой точке в нуль, и поведение функции вблизи у описывается выражением

Матрица порядка п

называется гессианом функции f в точке у. Эта матрица сим­метрична вследствие равенства смешанных частных производных. Функция f предполагается по крайней мере дважды дифференцируе­мой. Если квадратичная форма

(21.0.1)

всюдуположительна, то есть при всех z ≠ 0 то у — локальный минимум для f. Если эта квадратичная форма всюду отрицательна, то у — локальный максимум для f. Разумеется, квадратичная форма (21.0.1) может не сохранять знак для разныхв таком случае природа

критической точки у не определена. Если п = 1, то указанные критерии превращаются в обычную проверку второй производ­ной, устанавливающую наличие локального минимума или мак­симума. Третья возможность реализуется при п = 1 только в точке перегиба; если же п > 1, то картина может быть значи­тельно сложнее.