Дискретно-непрерывная математика (стр. 157 )

Система (D.2) или, эквивалентно, пара (А, С) детектируема тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих эквивалентных условий:

1.

2. существует матрица Θ такая, что матрица замкнутой системы гурвицева;

3. все ненаблюдаемые моды являются устойчивыми, т. е. из совместного выполнения условий следует, что

Приложение Е

Расширенная лемма Ляпунова

1 Рассмотрим матричное уравнение Ляпунова

(Е.1)

Тогда

(i) если А гурвицева, то уравнение (Е.1) имеет единственное решение - симмет­рическую и неотрицательно определенную матрицу

(ii) если в дополнение к пункту (i) пара (A, С) наблюдаема, то решение является в действительности положительно определенным

(iii) если пара (A, С) детектируема и уравнение (Е. 1) имеет симметрическое и неот­рицательно определенное решение, то матрица А гурвицева.

Доказательство. Пункты (i) и (ii). Если А гурвицева, то матрица

(Е.2)

является неотрицательно определенной. Непосредственная ее подстановка в (Е.1) по­казывает, что она удовлетворяет этому уравнению. Если предположить, что уравнение (Е.1) имеет еще другое решение то

Так как А гурвицева, то отсюда следует, что

Если пара (А, С) наблюдаема, то матрица (Е.2) будет положительно определенной. Действительно, если предположить, что для некоторого выполняется тогда

где у - выход системы

с начальным условием Это означает, что что противоречит наблюдаемости этой системы.

Пункт (iii). Пусть - некоторое решение уравнения (Е.1). Допустим от противного, что матрица А неустойчивая, т. е. для некоторого и Тогда из уравнения следует

Так как сумма неотрицательных слагаемых может обращаться в ноль, только при усло­вии, что каждое слагаемое нулевое, то отсюда следует Но этот факт с учетом того, что и противоречит предположению о детектируемости пары (А, С).

2 Рассмотрим матричное уравнение Ляпунова

(Е.3)

Тогда

(i) если А имеет все собственные значения внутри единичного круга комплексной плоскости, то уравнение (Е. З) имеет единственное решение - симметрическую и неотрицательно определенную матрицу

(ii) если в дополнение к пункту (i) пара (А, С) наблюдаема, то решение является в действительности положительно определенным

(iii) если пара (А, С) детектируема и уравнение (Е. З) имеет симметрическое и неот­рицательно определенное решение, то матрица А имеет все собственные зна­чения внутри единичного круга комплексной плоскости.

Доказательство. Пункты (i) и (ii). Если все собственные значения матрицы А лежат внутри единичного круга, то матрица

(Е.4)

является неотрицательно определенной. Непосредственная ее подстановка в (Е.3) по­казывает, что она удовлетворяет этому уравнению. Если предположить, что уравнение (Е.3) имеет еще другое решението

и в силу устойчивости А отсюда следует, что = X.

Если пара (А, С) наблюдаема, то матрица (Е.4) будет положительно определенной.

Действительно, если предположить, что для некоторого выполняется тогда

где - выход системы

с начальным условием х0. Это означает, что что противоречит наблюдаемости этой системы.

Пункт (iii). Пусть - некоторое решение уравнения (Е.3). Допустим от противного, что матрица А неустойчивая, т. е. для некоторого и Тогда из уравнения следует

Так как сумма неотрицательных слагаемых может обращаться в ноль, только при усло­вии, что каждое слагаемое нулевое, то отсюда следует Но этот факт с учетом того, что и противоречит предположению о детектируемости пары (А, С).

Приложение F

Кронекерово произведение

Кронекеровым (прямым или тензорным) произведением -матрицы А на матрицу В называется-матрица

Перечислим несколько элементарных свойств кронекерова произведения:

(i) если произведения АС и BD существуют, то

(іі)

(ііi) если А и В - комплексные матрицы, то

(iv) если А и В - невырожденные матрицы, то матрица также невырожденная и

Литература

[1] , Гантмахер устойчивость регулируемых систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

[2] Андреев конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.

[3] Об оптимальном гашении колебаний упругих объектов// Приклад­ная математика и механика. 1995. Т. 59. Вып. 3. С. 464-474.

[4] , Коган матричные неравенства в задаче робастного Н∞-управления по выходу// ДАН. 2004. Т. 396. № 6. С. 759-761.

[5] , Коган гашение колебаний высотных сооруже­ний при сейсмических воздействиях// Известия АН. Теория и системы управления. 2004. № 5. С. 60-66.

[6] , , Федюков возможности гашения ко­лебаний высотных сооружений// Проблемы машиностроения и надежности машин. 2004. № 5. С. 99-103.

[7] , Коган оптимального робастного i/oo-управления ме­тодами выпуклой оптимизации // Автоматика и телемеханика. 2004. № 7. С. 71-81.

[8] , Коган построения функции Ляпунова в синтезе динамических регуляторов заданного порядка// Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. № 11. С. 1457-1461.

[9] , Коган регуляторов на основе решения линейных мат­ричных неравенств и алгоритма поиска взаимнообратных матриц// Автоматика и телемеханика. 2005. № 1. С. 82-99.