Дискретно-непрерывная математика (стр. 103 )

(3.4i)

где каждый из рядов индексов

образует последовательность в некотором порядке чисел 1, 2, 3.

Точно так же, выделяя в матрице А сечения ориентации (j) с номерами и вычеркивая в них μ-е сечение ориентации (k) и v-e сечение ориен­тации (i), составим кубический детерминант 2-го порядка с сигнатурой

(3.4j)

а выделяя в матрице А сечения ориентации (k) с номерами и вычер­кивая в них μ-сечeние ориентации (i) и v-e сечение ориентации (j), составимкубический детерминант 2-го порядка с сигнатурой

(3.4k)

Таким образом мы получим все кубические миноры 2-го порядка с сигна­турами порождаемые матрицей А. Тогда алгебраические допол­нения элементов в кубических минорах 3-го порядка, порождаемых матри­цей А, можно представить в виде

(3.5i)

(3-5j)

(3.5k)

где индексыv могут принимать любые из значений 1, 2, 3. Составим из выражений (3.5i), (3.5.j), (3.5к) квадратные матрицы 9-го порядкакоторые напишем в виде клеточных матриц

(3.6)

где клеткиявляются также квадратными матрицами

(3.7)

Клеточные матрицы (3.6) — симметрические, так как детерминанты (3.4i), (3.4j), (3.4k), а следовательно, и выражения (3.5i), (3.5j), (3.5k) не меняются от перестановки индексов α, β.

Матрицы будем называть присоединенными соответственно по индексам i, j, kс для матрицы А.

Теорема 3.8. Ранги матриц являются арифметическими инвариантами относительно элементарных преобразова­ний кубической матрицы 3-го порядка А и, следовательно, будут ее вторичными рангами по соответствующим индексам.

Действительно, операция

над матрицей А при сопровождается умножением на t l-й строки и l-го столбца в матрице а при или вызывает умножение на t соответственно т-й и n-й строк или m-го и n-го столбцов в каждой клетке этой матрицы (l, m, n образуют последовательность в некотором порядке чисел 1, 2, 3). Операция

над А при вызывает прибавление к т-й строке умноженной на t l-й строки и к т-му столбцу — умноженного на t l-го столбца в матрице а при или сопровождается прибавлением соответственно к l-й строке умноженной на —t т-й строки или к l-му столбцу умноженного на —t, т-го столбца в каждой клетке этой матрицы.

Таким образом, операции (а) н (б) над матрицей А вызывают в матрице 9-го порядка умножение некоторых строк и столбцов на t и прибавление к некоторым строкам (столбцам) умноженных на ± t других строк (столбцов), т. е. элементарные преобразования матрицы А влекут за собой элементарные преобразования матрицы не изменяющие ее ранга

Аналогично доказывается неизменяемость рангови при элементарных преобразованиях матрицы А.

6. Отметим, наконец, случай, когда кубическая матрица 3-го порядка А — симметрическая.

Тогда порождаемые ею кубические миноры 3-го порядка равны между собой. Будем их обозначать сокращенно через а составленные из этих миноров совпадающие симметрические кубические мат­рицы — через А. Двумерный и трехмерный ранги матрицы А будем обозначать соответственно через и Как нетрудно убедиться, симметрические элементарные преобразования матрицы А влекут за собой такого же рода преобразования матрицы А, при которых ее ранги и остаются неизменными.

Кубические миноры 2-го порядка (3.4i), (3.4j), (3.4k), порождаемые симметрической матрицей А, а следовательно, и выражения (3.5i), (3.5j), (3.5k), также равны между собой и не меняются от перестановки не только индексов но и индексов Вводя для них сокращенные обозначения

напишем для симметрической матрицы А присоединенную симметрическую квадратную матрицу 9-го порядка С в виде симметрической клеточной матрицы

(3.8)

где клетки представляются также симметрическими матрицами

(3.9)

причем

(3.10)

Ранг матрицы С будем обозначать через rC.

Выделим теперь в симметрической матрице А сечение ориентации (i) с номером α, а в матрице A — сечение той же ориентации с номером β, причем α и β могут иметь любые из значений 1, 2, 3, и составим из этих сечений кубический детерминант 2-го порядка с сигнатурой вычерки­вая μ-e сечение ориентации (j) и v-e сечение ориентации (k), где μ и v также могут принимать любые из значений 1, 2, 3. Умножив составленный таким образом детерминант на обозначим полученное выражение символом

где каждый из рядов индексов

образует последовательность в некотором порядке чисел 1, 2, 3. Следовательно,

(3.11)

К тому же результату придем, производя в матрицах А и A аналогич­ные операции над сечениями ориентации (j) или (k).

Выражения (3.11), очевидно, не меняются от перестановки индексов μ, v. Непосредственным вычислением убеждаемся, что эти выражения не меняются и от перестановки индексов .