Дискретно-непрерывная математика (стр. 40 )

Нижняя оценка установленная этим следствием,— это первая нетривиальная оценка спектрального ра­диуса не обязательно эрмитовой матрицы. Неотрица­тельность матрицы А существенна.

Упражнение. Построить матрицу, которая подобна матрице и не имеет нулевых элементов. Каков ее спектральный ра­диус? Будет ли она неотрицательной? Как это связано с по­следней частью следствия 22.1.20?

Упражнение. Показать, что если и то

Указание. Существует такое, что

Далее при использовать следствие 22.1.19,

а при—следствие 22.1.20, примененное к матрице В.

Мы скоро получим довольно хорошие верхние оценки для спектральных радиусов неотрицательных матриц, и тогда тео­рема 22.1.18 позволит установить верхние оценки спектральных радиусов для произвольных матриц.

22.1.21. Лемма. Пусть и предположим, что

Если строчные суммы для А постоянны, то Если для А постоянны столбцовые суммы, то

Доказательство. Как известно, для любой матричной нормы Если же строчные суммы постоянны, то есть собственный вектор, отвечающий собствен­ному значению и потому Рассматривая столбцовые суммы, можно использовать те же доводы, приме­ненные по отношению к.

22.1.22. Теорема. Пусть и предположим, что.

Тогда

(22.1.23)

(22.1.24)

Доказательство. Положими построим новую

матрицу В, такую, чтои

для всех Например, при полагаем а если то можно взять

По лемме 22.1.21 и согласно следствию 22.1.19. Верхние оценки устанавливаются в том же духе. Оценки со столбцовыми суммами для матрицы А вытекают из оценок со строчными суммами для матрицы

Упражнение. Доказать верхние оценки теоремы 22.1.22.

22.1.25. Следствие. Пусть Если и

для всех то В частности,

если А >0 или если А неразложима и неотрицательна.

Упражнение. Показать, что неразложимая матрица не мо­жет иметь нулевую строку или нулевой столбец.

Поскольку для любой невырожденной матрицы S, полученную выше теорему можно обобщить за счет введения некоторых свободных параметров. Если и 0 для всех i, то при Теорему 22.1.22 применим к матрице и получим следующий более общий результат.

22.1.26. Теорема. Пусть и предположим, что Тогда для любого положительного вектора справедливы неравенства

(22.1.27) (22.1.28)

22.1.29. Следствие. Пусть и предположим, что

Если числатаковы, что

то Если то если

то

Доказательство. Если тои по

теореме 22.1.26 Еслито для какого-то

имеемВ этом случаетак что Верхние оценки проверяются аналогично.

Упражнение. Завершить доказательство следствия 22.1.29.

22.1.30. Следствие. Пусть и предположим, что мат­рица А неотрицательна. Если А имеет положительный собствен­ный вектор, то отвечающее ему собственное значение есть другими словами, если и то

Доказательство. Если и то и

но тогда, согласно следствию 22.1.29,

22.1.31. Следствие. Пусть и предположим, что мат­рица А неотрицательна. Если А имеет положительный собствен­ный вектор, то

(22.1.32)