Дискретно-непрерывная математика (стр. 95 )

6. Даны матрицы

Показать, что

т. е. произведение по индексуматрицы А на а является (p+q—2)-мерной матрицей п-го порядка

где

7. Дана кубическая матрица 2-го порядка

Найти

8. Составить произведение (см. упражнение 6) и показать, что это произ­ведение тогда и только тогда равпо одной из матриц А, а, когда другая из них есть единичная квадратная матрица.

9. Показать, что произведение р-мерного детерминанта п-го порядка с сигнатурой, содержащей по крайней мере два альтернативных индекса, на квадратный детерминант того же порядка равно косигнатурному детерминанту р-мерной матрицы п-го порядка, представляющей произведение по любому из альтернативных индексов матрицы р-мерного детерминанта на матрицу квадратного детерминанта, т. е.

где символы обозначают совокупности знаков +, ± над соответственными индексами.

10. Представить всеми способами произведение детерминантов п-го порядка

11. Даны р-морный и q-мерный детерминанты п-го порядка

где символами обозначены совокупности знаков +, ± над соответственными индексами.

Если строк альтернативного направления детерминанта умножим на строк альтернативного направленияi детерминанта полученные произведений примем за элементы (p>+q — 2)-мерного детерминанта n-гo порядка

то(правило Кэли — Раиса). Доказать.

12. Сколькими способами может быть представлено произведение двух многомер­ных детерминантов по правилу Кэли — Раиса?

13. Пусть

р-мерная матрица, расширенная в направлении

— q-мерная матрица, рас­ширенная в направлении

Умножая тp-1 строк направления мат­рицы А на тq-1 строк направления (jβ) матрицы а, примем полученныепроиз­ведений за элементы (p+q — 2)-мерной матрицы m-го (т < п) порядка

Будем предполагать альтернативными какое-либо четное число индексов i, включая матрицы А и какое-нибудь четное число индексов j, включая матрицы а. Эту сигнатуру сохраним для всех несуммируемых индексов матрицы В. Каждые т сечений ориентации матрицы A и те же т сечений ориентации (jβ) матрицы а образуют матрицы соответственных детерминантов m-го порядка сданными сигнатурами и где Г — некоторое сочетание (без повторений) из п чисел 1, 2, ..., п по т.

Доказать, что детерминант матрицы В (с указанной выше сигнатурой) равен сумме произведений соответственных детерминантов матриц А и а, распространенной на все Стп сочетаний Г:

(Обобщенная формула Бине—Коши для обычных детерминантов, указанная впервые Гегенбауером и уточненная впоследствии Лека.)

14. Пусть в матрицах A и a упражнения 13 индексы и —неальтернативные и Г — какое-либо сочетание (с повторениями) из чисел 1, 2, ..., п по т (т< п), например, совокупность различных чиселиз натурального ряда 1,2, ..., п, повторяющихся соответственно раз. Оставляя остальные обозначения упражнения 13 неизменными, доказать, что в этом случае

где и суммирование распространено на все возможные сочетания (с повторениями) Г (Ольденбургер).

Даны р-мерный и q-мерный детерминанты n-го порядка

где каждыйиз символовобозначает любой из знаков +, ±. Доказать, что произведение этих детерминантов выражается (p{q — 1)-мерным детерминантом n-го порядка с одночленными элементами

где знак над индексом kа будет + или ±, смотря по тому, имеют ли индексы перемножаемых детерминантов один и тот же или противоположный характер (правило Скотта—Раиса).

16. Сколькими способами можно представить произведение p-мерного и q-мерного детерминантов одного и того же порядка по правилу Скотта — Раиса?

17. Применяя правило Скотта — Раиса, представить всеми способами:

а) произведение квадратных детерминантов n-го порядка в виде куби­ческого детерминанта того же порядка (правило П а д у а);

б) произведение квадратного детерминанта n-го порядка | а | на квадратный перманент того же порядкa в виде кубического детерминанта n-го порядка;

в) произведение квадратных перманентов п-го порядкa виде кубического перманента того же порядка.

18. Показать, что квадрат детерминанта n-го порядка можно представить в виде кубического детерминанта того же порядка, симметрического относительно его альтернативных индексов, причем элементами главного диагонального сечения, соответ­ствующего неальтернативному направлению, являются квадраты элементов . Дать пример (Лека).

19. Применяя правило Скотта—-Раиса, представить всеми способами произведение кубического детерминанта n-го порядка с той или иной сигнатурой на квадратный детерминант или перманент того же порядка в виде четырехмерного детерминанта n-го порядка.

20. Применяя правило Падуа (упражнение 17а), показать, что решение системы уравнений

линейных относительноможет быть представлено в виде