Дискретно-непрерывная математика (стр. 61 )

Пример 5 Рассмотрим задачу нахождения степени устойчивости асимптотиче­ски устойчивой линейной системы

Эта задача сводится к поиску минимального значения λ*<0, при котором выполня­ется неравенство

для О, т. е. к задаче на обобщенное собственное значение. При этом степень устойчивости будет равна

Пример 6 . Для устойчивого объекта

рассмотрим обратную задачу наихудшего возмущения: когда возмущение

где и - заданные матрица и число, является наихудшим по отношению к функционалу вида

(3)

при некоторой . Напомним, что наихудшее возмущение, максимизирующее фунционал (3) с заданной матрицей определяется выражением

в котором матрица- стабилизирующее решение уравнения Риккати

т. е. такое, что матрица гурвицева. Таким образом, рассматриваемая обратная задача эквивалентна задаче разрешимости линейных матричных нера­венств

относительно матрицы и матрицы удовлетворяющей линейному матричному уравнению

т. е. задаче разрешимости комбинированных линейных матричных неравенств.

23.4. Неравенство

23.4.1 Условия разрешимости

В задачах синтеза регуляторов, ключевую роль играет линейное матричное неравенство вида

(1)

в котором Ψ - заданная симметрическая матрица порядкаа Р и Q – заданные матрицы порядков соответственно. Нас будут интересовать условия разрешимости этого неравенства относительно неизвестной матрицы Θ порядка

Если ранги матриц Р и Q равны п, т. е. эти матрицы имеют линейно независимые столбцы, то неравенство (1) всегда разрешимо. В самом деле, в этом случае уравне­ние разрешимо относительно матрицы Θ при любой матрице К соответ­ствующего порядка (см. лемму В.2), а неравенство (1) выполняется, например, при В этом разделе будут получены условия разрешимости неравенства (1) и представлены в параметрической форме все его решения в двух других случаях: ранг одной из матриц Р или Q равен п, а ранг другой - меньше п; ранги обеих матриц Р и Q меньше п.

Утверждение 1. Пусть даны симметрическая матрица и две матрицы и, причем rank P = п и rank Линейное матричное неравенство (1) разрешимо относительно матрицы в ΘRk×l тогда и только тогда, когда

(2)

где столбцы матрицыобразуют базис ядра матрицы Q.

Доказательство. Необходимость. Умножив (1) слева на и справа на полу­чим (2).

Достаточность. Разложим пространство в прямую сумму

где - образ матрицы , а - ядро матрицы Q, и выберем соответствующий базис. В этом базисе Q будет соответствовать матрица следующего блочного вида

где Q1 имеет размеры а нулевой блок - Представим также Р и Ψ в этом базисе в виде

Матрица WQ должна быть решением уравнения и иметь максимальный ранг, поэтому, учитывая структуру матрицы Q, возьмем Тогда условие сведется к неравенствуа неравенство (1) примет вид

(3)

Для заданной матрицы рассмотрим следующее матричное уравнение относительно матрицы Θ

(4)

Согласно лемме В.2 это уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда имеют решения Y и Z следующие два матричных уравнения

Так как -матрица имеет ранг и-матрица имеет ранг п, то оба эти уравнения разрешимы. Следовательно, для любых найдется матрица Θ такая, что верно (4). Таким образом, матрица в левой части (3) имеет отрицательно определенный блок а все ее остальные блоки могут быть сделаны про­извольными за счет соответствующего выбора матрицы Θ. Выбирая их такими, чтобы выполнялись условия леммы А.2, убеждаемся в справедливости сделанного утвержде­ния.

Утверждение 2. Пусть даны симметрическая матрица и две матрицыи причем rank и Линейное матричное неравенство (1) разрешимо относительно матрицы тогда и только тогда, когда

(5)

где столбцы матрицы Wp образуют базис ядра матрицы Р, а столбцы матрицы Wq образуют базис ядра матрицы Q.

Доказательство. Необходимость. Умножив (1) сначала слева наи справа на Wp, а затем слева на и справа на получим (5).

Достаточность. Разложим пространствов прямую сумму