Дискретно-непрерывная математика (стр. 104 )

Составляя из них симметрическую квадратную матрицу 9-го порядка К, подобно тому как была составлена присоединенная матрица С, напишем ее в виде симметрической клеточной матрицы

(3.12)

где клетки представляются также симметрическими матрицами

(3.13)

Матрицу К назовем смешанно-присоединенной для симметрической мат­рицы А. Ее ранг будем обозначать через

Теорема 3.9. Ранги так же как и двумерный ранг r

и трехмерный ранг симметрической кубической матрицы 3-го порядка А (ее первичные ранги), являются арифметическими инвариантами относи­тельно симметрических элементарных преобразований матрицы А и будут, следовательно, ее вторичными рангами. В поле вещественных чисел арифме­тическими инвариантами относительно вещественных симметрических эле­ментарных преобразований матрицы А, кроме упомянутых выше рангов, будут также сигнатуры присоединенной и смешанно-присоединенной для А матриц С и К.

Справедливость теоремы для рангов вытекает непосредственно из теорем 1.1, 2.1, 3.7. Чтобы убедиться в справедливости ее для рангов и сигнатур матриц С, К, заметим, что операция

над матрицей А сопровождается умножением на t l-й строки и l-гo столбца в матрицах (3.8), (3.12), представляющих клеточные матрицы С, К, причем в клетках этих матриц совершаются еще следующие преобразования: в каж­дой клетке (3.9) матрицы (3.8) т-я и п-я строки, а также m-й и п-й столбцы умножаются на t, а в каждой клетке (3.13) матрицы (3.12) l -я строка и l - й столбец умножаются на t, тогда как m-я и п-я строки, а также т-й и п-й столбцы умножаются на образуют последовательность в некотором порядке чисел 1, 2, 3). Далее, операция

над А вызывает в матрицах (3.8), (3.12) прибавление к т-й строке умножен­ной на t l-й строки и к т-щ столбцу умноженного на t l-го столбца, а в каждой клетке этих матриц — прибавление к l-й строке умноженной на — t т-й строки и к l - му столбцу умноженного на — t т-го столбца.

Нетрудно убедиться, однако, что все эти преобразования в матрицах (3.8), (3.12) и их клетках равносильны симметрическим элементарным пре­образованиям симметрических квадратных матриц 9-го порядка С, К, при которых их ранги не меняются.

В поле вещественных чисел, когда симметрические элементарные пре­образования матрицы А вещественны, вызванные ими симметрические эле­ментарные преобразования матриц С, К также вещественны, а потому их сигнатуры при этих преобразованиях остаются неизменными.

Замечание 3.6. Вторичные ранги и вообще ранги высших степеней пространственной матрицы А называются также рангами соответственных степеней ассоциированной с ней алгебраической формы F.

26.4. Инварианты и коварианты алгебраических форм

1. Переходя к рассмотрению инвариантов и ковариантов (подразумеваются целые рациональные инварианты и коварианты относительно невырожденных линейных преобразований алгебраических форм или равносильных им элементарпых преобразований соответствующих матриц) форм от одного или нескольких рядов переменных над некоторым числовым полем Р, начнем с простейшего случая, когда дана двойничная трилинейная форма с соответствующей кубической матрицей 2-го порядка

Нетрудно убедиться, что выражения

являются квадратичными формами, ассоциированными с матрицами (3.1), т. е.

(4.1)

Дискриминанты этих форм представляются равными между собой детерми­нантами (3.2), общее значение которых обозначим через

(4.2)

и будем называть дискриминантом формы F.

Теорема 4.1. Дискриминант,двойничной трилинейной формы F есть относительный инвариант веса 2 для каждого ряда переменных этой формы.

Действительно, подвергая форму F невырожденному линейному пре­образованию

(4.3')

с матрицей детерминант которой мы тем самым соответствующую этой форме кубическую матрицу А умножаем по индексу i на квадратную матрицу а. Но умножение на а приводится к по­следовательным умножениям по индексу i на элементарные квадратные матрицы произведению которых равна матрица а. Умножению же по индексу і на элементарную матрицу где v —любое из значений 1, 2, ...,q, равносильна операция

если соответствует линейному преобразованию

детерминант которого равен t, или операция

если соответствует линейному преобразованию

детерминант которого равен 1 (индексы l, m имеют любые из значений 1, 2, различные между собой).

Следовательно, детерминант матрицы а, определяемый формулой

равен произведению чисел t, фигурирующих в элементарных преобразова­ниях типа (а), которым подвергается матрица А при невырожденном ли­нейном преобразовании (4.3') формы F.

Повторяя те же рассуждения, как и при доказательстве теоремы 3.1, заключаем, что операция (а) над А вызывает умножение дискриминанта на t2, тогда как после операции (б) остается неизменным.

Таким образом, в результате преобразования (4.3') формы F, сопрово­ждающегося элементарными преобразованиями соответствующей матрицы А, дискриминант лишь умножается на квадрат детерминанта | а | этого пре­образования.

Подвергая, далее, полученную трилинейную форму последовательно линейным преобразованиям

(4.3")

(4.3′′′)

с детерминантамимы придем к двойничной трилинейной форме дискриминант которой как легко убедиться рассуждениями, аналогичными предыдущим, имеет вид

(4.4)

A это и требовалось доказать.

Замечание 4.1. Из формулы (4.4) следует, что в поле вещественных чисел знак дискриминанта ∆ формы F не меняется при вещественных невырожденных линейных преобразованиях ее.

Теорема 4.2. Квадратичные формы (4.1) являются относительными ковариантами двойничной трилинейной формы F, веса которых для трех рядов переменных формы F равны соответственно 0, 1, 1; 1, 0, 1; 1, 1,0.

В самом деле, повторяя предыдущие рассуждения, видим, что в резуль­тате операции (а) над матрицей А формы F форма остается неизменной, тогда как формы умножаются на t, т. е. на детерминант соответствующего линейного преобразования; операция (б) над А не изменяет Следовательно, квадратичные формы составленные для формы F', в которую переводится F невырожденными линейными преобра­зованиями (4.3'), (4.3"), (4.3"), будут иметь вид