Дискретно-непрерывная математика (стр. 64 )

(18)

Второй частный случай касается системы (16), в которой одна из матриц Р или Q совпадает с единичной матрицей (без ограничения общности положим Q = I), т. е. системы неравенств

(19)

Для этого случая наряду с условием (18) можно привести другие необходимые и до­статочные условия разрешимости этой системы, не включающие новых переменных.

Утверждение 5. Пусть даны симметрические матрицы и матрица причем Система линейных матричных неравенств (19) разрешима относительно матрицы тогда и только тогда, когда

(20)

Доказательство. Необходимость условия (20) доказывается так же, как и в утвер­ждении 1. Для доказательства достаточности заметим, что согласно лемме А.8 нера­венства (20) эквивалентны неравенствам

для некоторых Обозначим Тогда

Задаваяполучим

23.5. Решение линейных матричных неравенств в пакете MATLAB

В основу численных методов решения линейных матричных неравенств положены мето­ды выпуклой оптимизации. В пакете MATLAB используются так называемые методы внутренней точки (interior point methods). Изложим основную идею этих методов на примере задачи минимизации выпуклой функциина множестве определяемом линейным матричным неравенством. Эта задача условной оптимизации сводится к задаче безусловной оптимизации функции

где - штрафной параметр, а штрафная функция определяется следующим образом

Решение задачи безусловной оптимизации представляет собой итерационный процесс, на п-й итерации которого применяется метод Ньютона-Рафсона для нахождения ми­нимума хп функции при Для соответствующим образом построенной по­следовательности последовательность хп стремится к точке x*, являющейся решением исходной задачи условной оптимизации.

Задача разрешимости линейного матричного неравенства сводится к минимизации параметра t, для которого выполняется линейное матричное неравенство Если то исходное линейное матричное неравенство разрешимо

и строго разрешимо, если в противном случае, неравенство неразрешимо. Для численного решения используется команда

в которой tmin и xfeas суть минимальное значение параметра t и отвечающее ему реше­ние линейного матричного неравенства. Аргументы команды feasp: lmisys - описание линейного матричного неравенства (размерность и структура матричных переменных, задание известных матриц); options - описание параметров алгоритма оптимизации; target - назначаемое значение параметра tmin такое, что при t<target алгоритм опти­мизации останавливается (по умолчанию target=0). Для решения задачи минимизации линейной функции при ограничении, задаваемом линейным матричным неравенством, используется команда

в которой copt и xopt суть минимальное значение минимизируемой линейной функции и отвечающее ей значение переменных х. Аргументы команды mincx: lmisys - описание линейного матричного неравенства; с - описание вектора с, определяющего минимизи­руемую линейную функцию; options - описание параметров алгоритма оптимизации; xinit - вектор начального приближения для xopt (удачное задание этого вектора может ускорить получение результата); target - назначаемое значение параметра для величи­ны такое, что при алгоритм оптимизации останавливается.

Для решения задачи на обобщенное собственное значение используется команда

в которой lopt и xopt суть минимальное обобщенное собственное значение и отвечающее ему значение переменных х. Аргументы команды gevp: lmisys - описание линейных матричных неравенств; nlfc - число ограничений, задаваемых линейными матричными неравенствами; options - описание параметров алгоритма оптимизации; linit и xinit - начальные приближения для lopt и xopt; target - назначаемое значение параметра для величины такое, что при алгоритм оптимизации останавливается.

Для решения неравенства

которое неоднократно будет использоваться в дальнейшем изложении, используется команда

результатом выполнения которой является решение Добавление аргумента в команду

позволяет найти решение этого неравенства, имеющее минимальную норму.

Отметим также, что матрица столбцы которой образуют базис ядра матрицы М, находится с помощью команды

Микромодуль 65.

Стабилизация объек­тов

23.6. Стабилизация

23.6.1 Стабилизация по состоянию

Задача стабилизации по состоянию линейного стационарного динамического объекта, описываемого дифференциальным уравнением вида

(1)

где - состояние объекта,- управление, состоит в выборе закона управления из класса линейных обратных связей по состоянию вида

(2)

где Θ - матрица параметров регулятора соответствующего порядка, при котором состо­яние равновесия х = 0 замкнутой системы (1), (2) является асимптотически устой­чивым по Ляпунову.

Классический подход к синтезу линейных обратных связей в пространстве состоя­ний, во всяком случае для управляемой пары (А, В) (см. Приложение D о свойствах управляемости и стабилизируемости линейных объектов), связан с каноническим пред­ставлением управляемого объекта и построением модального управления, обеспечиваю­щего заданные собственные значения (моды) матрицы замкнутой системы. Построение модального управления сводится к нахождению характеристического полинома матри­цы А, выбору канонического базиса и решению системы линейных уравнений. Вместе с тем, возможен альтернативный путь синтеза стабилизирующих регуляторов, осно­ванный на применении теории линейных матричных неравенств и эффективных алго­ритмов их решения, реализованных в пакете MATLAB. Далее на различных примерах и, в частности, на примере задачи управления высотным сооружением будет показа­но, что алгоритмы синтеза регуляторов, основанные на решении линейных матричных неравенств, оказываются более предпочтительными.

Изложим этот альтернативный подход. Запишем уравнение замкнутой системы

(3)

и переформулируем задачу стабилизации как существование у этой системы квадра­тичной функции Ляпунова, т. е. такой для производной которой в силу системы (3) выполняется