Дискретно-непрерывная математика (стр. 130 )

1. Возьмем кубическую тройничную форму

с соответствующейсимметрической кубической матрицей 3-го порядка

Симметрические элементарные преобразования матрицы А будем назы­вать аффинно-проективными, если в операциях

где t — произвольное, отличное от нуля число, индекс т может иметь любое из значений 1, 2, 3, тогда как индекс п принимает лишь какое-нибудь из значений 1, 2.

Преобразованиями типов (а), (б), очевидно, можно совершить операцию

где l, подобно п, принимает любое из значений 1, 2.

Легко убедиться, что аффинно-проективные преобразования матрицы А равносильны невырожденным линейным преобразованиям формы f, которые представляются формулами

выражающими аффинно-проективные преобразования плоскости.

Так как эти преобразования являются частным случаем невырожден­ных линейных преобразований

выражающих проективные преобразования плоскости, то все рассматривавшиеся в § 1 инварианты относительно проективных преобразований матрицы А сохраняют силу и относительно аффинно-проективных преобра­зований ее.

В дальнейшем мы будем говорить об инвариантах формы f и матрицы А относительно лишь аффинно-проективных преобразований.

2. Обозначим через укороченную симметрическую кубическую матрицу 2-го порядка, полученную из основной матрицы A вычеркиванием 3-го сечения каждой ориентации. Аффинно-проективные преобразования матрицы А являются для А0 проективными, при которых, как известно, двумерный и трехмерный ранги ее остаются неизменными. Таким образом, имеет место

Теорема 2.1. Ранг (двумерный или трехмерный) укороченной мат­рицы А0 есть арифметический инвариант относительно аффинно-проектив­ных преобразований основной матрицы А.

Составим теперь из элементов матрицы С, присоединенной для А, квадратные симметрические матрицы

и симметрическую клеточную матрицу где клетки — также симметрические матрицы Далее, из элементов матрицы К, смешанно-присоединенной для А, составим квадратные симметрические матрицы

Наконец, из элементов матрицы С, присоединенной для матрицы А, которая составляется из кубических миноров 3-го порядка, порождаемых матрицей А, образуем квадратные симметрические матрицы

Для всех этих матриц имеет силу

Теорема 2.2. Ранги (а в поле вещественных чисел и сигнатуры) матриц

являются арифметическими инвариантами относительно аффинно-проек­тивных преобразований матрицы А.

Для доказательства теоремы отметим прежде всего, что операция над А вызывает в А операции

где —последовательность в некотором порядке чисел 1, 2, 3; операция же над А вызывает ту же операцию над А.

Обращаясь теперь к матрицам 2-го порядка С0, К0, С0, видим, что операция над А не изменяет С0, если т = 3, а при т = 1 или m=2 сопровождается умножением в С0 на t2 т-й стропи и т-го столбца и умно­жением п-й строки и п-го столбца, где соответственно п = 2 или п = 1 на l.

Та же операция над А вызывает в К0 при т = 3 умножение всех строк и столбцов на t, а при т = 1 или т = 2 — умножение т-й строки и т-го столбца на t2 и умножение n-й строки и n-го столбца, где соответственно п = 2 или п=1, на t2. При этом в С0 все строки и столбцы умножаются на t2, если т = 3; если же т = 1 или m = 2, то m-я строка и т-й столбец умножаются на t4, а n-я строка и п-й столбец, где соответственно п = 2 или п=1, умножаются на t3.

Операция

над А не изменяет матрицесли т=3 и вызывает в каждой из них прибавление к m-й строке п-й строки, умно­женной на t, и аналогичную операцию со столбцами, если т = 1 или m = 2.

Таким образом, аффинно-проективные преобразования матрицы А вле­кут за собой симметрические элементарные преобразования матриц или вовсе не изменяют их. В обоих случаях ранги (а в поле вещественных чисел и сигнатуры) этих матриц остаются неизменными.

Относительно матриц 3-го порядказамечаем, что операция над А сопровождается при т=3 умножением 3-й строки и 3-го столбца на t в С1, на t2 в К1 и на t3 в С1, а также умножением остальных строк и столбцов на t в К1 и на t2 в С1; если же т = 1 или т= 2, то т-я строка и т-й столбец умножаются на t2 в C1, на t3 в К1 и на t4 в С1, тогда как l-я и n-я строки, а также l-й и п-й столбцы умножаются на t в С1, на t2 в К1 и на t3 в С1, причем n=3, а l=2 при m = 1 и l = 1 при m = 2.

Операция над А всегда вызывает в каждой из матриц прибавление к т-й строке п-й строки, умноженной на t, и аналогичную операцию со столбцами.

Таким образом, аффинно-проективные преобразования матрицы А не изменяют рангов (а в поле вещественных чисел и сигнатур) матриц

Обращаясь, наконец, к матрице С2, видим, что операция над А

сопровождается умножением на t l-й и п-й строк, а также l-го и п-го столбцов в каждой клетке Сαβ матрицы С2 (причем l, т, п образуют после­довательность в некотором порядке чисел 1, 2, 3) и, кроме того, умноже­нием т-й строки и т-го столбца в матрице

на t при т = 1 или т = 2.

Операция

над А вызывает в каждой клетке Сαβ матрицы С2 прибавлениек п-й строке умноженной на — t т-й строки и аналогич­ную операцию со столбцами, а кроме того, если m = 1 или т = 2, прибавле­ние к m-й строке n-й строки, умноженной на t, и аналогичную операцию со столбцами в матрице

Все эти операции являются, как нетрудно убедиться, симметрическими элементарными преобразованиями матрицы 6-го порядка С2, которые не оказывают влияния на ее ранг (а в поле вещественных чисел и сигнатуру).

Теорема 2.3. Ранг, а следовательно, и дефект матрицы

есть арифметический инвариант относительно аффинно-проективных преобразований матрицы А.

В самом деле, принимая во внимание замечание в начале доказатель­ства предыдущей теоремы, видим, что операция в А сопровождается умножением строк и столбцов матрицы R0 на целые (положительные и отрицательные) степени множителя l; при операции

в А мат­рица R0 не меняется, если т = 3, или, если т < 3, подвергается элемен­тарным преобразованиям, заключающимся в прибавлении к ее строкам (столбцам) других строк (столбцов), умноженных на числа вида alk, где k — целое.