Дискретно-непрерывная математика (стр. 136 )

Если то, подвергая матрицу (2.34) надлежащим операциям, получим либо каноническую форму

(6в)

приводящуюся при I=0 к эквивалентной ей, более простой канонической форме

(7в)

для которой либо каноническую форму

(8в)

для которой либо, наконец, каноническую форму

(9в)

для которой

Если жето после легких преобразований матрицы (2.34) приходим к канонической форме

(10в)

для которой или к канонической форме

(11в)

для которой

Если, наконец, то подобным же образом получаем каноническую форму

(12в)

Для нее

Случай (г), когда r0 = 0.

Тогдагде

Как известно, совокупность всех комплексных квадратичных тройнич­ных форм разбивается на семь аффинно-проективных классов.

Соответственно этому имеем семь канонических видов формы f:

4. Мы установили 48 канонических видов комплексных кубических тройничных форм: При установлении канонических видов вещественных кубических тройнич­ных форм различаем пять возможных случаев в зависимости от пяти кано­нических видов вещественной укороченной матрицы А0, обусловливаемых значениями ее ранга r0, а также ранга и сигнатуры матрицы С0 (модуль 27, п.27.3, табл. IV, V):

Применяя в каждом из этих случаев вещественные аффинно-проектив-ные преобразования матрицы А формы f, приводящие ее к каноническому виду, мы получим 79 канонических видов вещественных кубических трой­ничных форм: (упражнение 4); (1б) —(19б) (упражнение 5); (1в)-(16в) (упражнение 6); (1г) —(11г) (упраж­нение 7).

5. Переходя к геометрической интерпретации полученных результатов, отметим, прежде всего, геометрическое значение инвариантов, рассмотрен­ных в п. 2.

Для четырех основных типов нераспадающихся линий 3-го порядка, установленных Ньютоном в случае вещественной области, им даны известные простейшие уравнения, которые, очевидно, могут быть распро­странены и на комплексную область. В однородных координатах эти уравне­ния имеют вид

(2.35) (2.36) (2.37) (2.38)

Ранг r матрицы А, соответствующей каждому из уравнений (2.35) — (2.38), равен 3.

Далее, для уравнения (2.35) находим:

Если в уравнении (2.35) то имеем центральные кубические гиперболы.

Тогда Если при этом т. е. то три асимптоты каждой линии не пересекаются в одной точке; если же b = 0, т. е. то они пересекаются в одной точке.

В вещественной области центральные кубические гиперболы делятся на избыточные гиперболы, для которых а > 0, т. е. и недостаточные гиперболы, для которых a < 0, т. е. У первых все три асимптоты вещественны, тогда как у вторых одна из асимптот вещественна, а две — мнимые сопряженные.

Если в уравнении (2.35) а =0, то при b≠0 имеем параболиче­ские гиперболы, и тогда а при b=0 — гиперболизмы конических сечений, и тогда =l, причем имеем гиперболизмы центральных кониче­ских сечений или гиперболизмы параболы, смотря по тому, будет ли с≠0 или с = 0.

Заметим, что при а = b = 0 будет:

Следовательно, для гиперболизмов центральных конических сечений идля гиперболизмов параболы.

В вещественной области гиперболизмы центральных конических сече­ний делятся на гиперболизмы гиперболы, для которых с > 0, т. е. и гиперболизмы эллипса, для которых с < 0, т. е. .

Для избыточных, недостаточных и параболических гипербол инвариант I может иметь любое значение.

Уравнению (2.36) соответствуют расходящиеся параболы. В этом случае

Далее находим:

Инвариант I может иметь любое значение.

Уравнению (2.37) соответствуют трезубцы. Тогда матрица А0 та же, как и в предыдущем случае, и ее ранг r0 = 1. Далее имеем:

Кроме того,

Уравнению (2.38) соответствуют кубические параболы. Тогда

Кроме того,

Для дальнейшего подразделения линий, представляемых уравнением (2.35), принимаем во внимание их диаметры. (Подразумеваются такиe же диаметры, как и у конических сечений.)

Как известно, диаметр линии 3-го порядка, заданной в однородных координатах уравнением

сопряжен с хордами углового коэффициента т, который надо искать среди общих корней уравнений

(2.39)

и

Переписывая последнее уравнение в виде

(2.40)

представим результантуравнений (2.39), (2.40) как детерминантматрицы

Тогда существование диаметров и число их будут обусловлены значе­нием дефекта δ матрицы R0.

Для линий, соответствующих уравнению (2.35), матрица R0 приво­дится элементарными преобразованиями (вещественными в случае веще­ственной области) к виду

Следовательно, результант уравнений (2.39), (2.40) с точностью до число­вого множителя равен

т. е.

Как известно, у центральных кубических гипербол не существует диаметра, если ни один из множителей последнего разложения нe равен нулю, т. е. если δ = 0; существует лишь один диаметр, если только один из этих множителей равен нулю, т. е. если δ = 1; существуют три диа­метра, если каждый множитель есть нуль, т. е. если δ = 3. В веществен­ной области все эти диаметры вещественны лишь у избыточных гипербол; у недостаточных гипербол вещественным может быть лишь один диаметр, тогда как остальные два (если только они существуют) — мнимые сопря­женные.