Дискретно-непрерывная математика (стр. 15 )

Рассмотрим в заключение частный случай т=п и В=I. Тогда получим следующий результат: наилучшее среднеквадра­тичное приближение заданной матрицы унитарной мат­рицей U Мп выражается формулой где V, W — матрицы из сингулярного разложения Иначе говоря, есть полярное разложение матрицы А. Ошибка аппроксимации равна

Через обозначены сингулярные числа матрицы А.

Попутно с обсуждением предыдущего примера, мы нашли решение задачи о максимизации функциина множестве всех унитарных матриц U. Для удобства последующих ссы­лок оформим этот результат как теорему.

21.4.9. Теорема. Пусть —заданная матрица с сингулярным разложениемТогда (а) задача

имеет решение а значение максимума равно

где — множество сингулярных чисел матрицы А; (b) существует унитарная матрица такая, что —эрмитова положительно полуопределенная матрица. Унитарная матрица U тогда и только тогда является решением экстремальной задачи п. (а), когда матрица AU по­ложительно полуопределена; если А невырожденна, то U опре­делена однозначно. Собственные значения матрицы AU совпа­дают с сингулярными числами матрицы А.

Доказательство. Имеем

Максимум этого выражения достигается, если все диагональные элементы матрицы равны 1. Поскольку матрица

унитарная, это означает, что илиПри таком выборе матрицы U получим эта матрица эрмитова и положительно полуопределенная, поскольку и все неотрицательны. Если произвольная унитарная матрица, для которой матрица AU1 положительно полуопределена, то собственные значения послед­ней должны (в силу инвариантности сингулярных чисел) сов­пасть с сингулярными числами матрицы А. Единственность в невырожденном случае вытекает из утверждений о единственностн в теореме 21.3.3.

Для произвольной матрицыобе матрицы АА* и А*А положительно полуопределены и правую часть этого равенства можно рас­сматривать как сумму произведений сингулярных чисел матриц А и А*, учитывая, что сингулярные числа матрицы А* совпа­дают с сингулярными числами матрицы А. Это простое заме­чание допускает обобщение на любую пару матриц А, В, для которой оба произведения АВ и ВА имеют смысл и к тому же положительно полуопределены. Это обстоятельство полезно при решении матричных оптимизационных задач нескольких типов.

21.4.10. Теорема. Пустьи

Обозначим через и сингу-

лярные числа соответственно матриц А и В, пронумерованные по невозрастанию. Если обе матрицы и положительно полуопределены, то найдется перестановка τ целых чисел такая, что

(21.4.11)

Доказательство. Если m = п, матрицы А и В коммутируют и при этом каждая из них положительно полуопределена, то обе матрицы можно диагонализовать одним унитарным преоб­разованием: — унитарная мат­рица, и все числа неотрицательны. Но тогда

Поскольку собственные значенияявляются в то же время

сингулярными числами матриц А, В, то в этом частном случае теорема доказана.

Без ограничения общности, можно считать, что если m>п, то можно просто поменять местами А и В в формули­ровке теоремы. Мы утверждаем, что для доказательства теоремы в общем случае достаточно показать следующее: для любой пары матриц такой, что оба произведения АВ и ВА положительно полуопределены, найдутся унитар­ная матрица и матрица с ортонормированными строками, для которых-матрицы

(21.4.12)

коммутируют и положительно полуопределены. Если это так, то, согласно сказанному выше,

Заметим, что поэтому

сингулярные числа матрицы совпадают с сингулярными чис­лами матрицы AV, а те в силу равенства — с сингулярными числами матрицы А. Таким же образом показы­ваем, что сингулярные числа матрицы В равны сингулярным числам матрицы ; следовательно,

что и утверждалось. Доказательство существования преобразо­вания (7.4.12) с нужными свойствами разобьем на три этапа. (1) Пусть А и В удовлетворяют условиям теоремы. Вспом­ним (см. теорему 15.3.20), что собственные значения матрицы ВА — это собственные значения матрицы АВ (с учетом кратностей) и дополнительно п— т нулевых собственных значений. Пусть— собственные значения матрицы АВ; положим Так как обе матрицы АВ и ВА по предположению эрмитовы, то найдутся унитарные матрицы итакие, что

Представим матрицу V в виде где

Матрица V1 имеет ортонормированные столбцы, так что Поскольку ито Положими заметим, что т. е. Y имеет ортонормированные строки и Определим формулами