Дискретно-непрерывная математика (стр. 24 )

17. С помощью матриц показать, что неравенство вообще говоря, верно не для всех i= 1, 2, ... . Здесьи — сингуляр­ные числа соответственно матриц А и В, упорядоченные по убы­ванию.

18. Пусть А, В — заданные матрицы из

Пусть — упорядоченные сингулярные числа

матрицы А и аналогично обозначены сингулярные числа матриц В и Показать, что

Эти соотношения можно рассматривать как мультипликативный аналог аддитивных неравенств задачи 16, а также как обобще­ние кольцевого свойства спектральной нормы в случае т = п. Почему? Указание. Пусть — левое полярное разложение матрицы — унитарная и — положительно полуопределенная матрицы. Показать, что

для любого Пусть—

— ортонормированные собственные векторы матрицы AA*, соответствующие i—1 старшим собственным значениям а — ортонормированные соб-

ственные векторы матрицы ВВ*, соответствующие j — 1 стар­шим собственным значениям Положим

Если вектор х ортогонален каждому из векторов то одновременно выполняются неравенства и

поэтому для такого х должно быть

Используя теорему Куранга — Фишера 18.2.11, заключаем, что

19. Хотя для матриц собственные значения мат­риц АВ и ВА всегда совпадают, такое же утверждение может быть неверно в отношении сингулярных чисел этих последних матриц. Проверить это на примере, рассматривая матрицы Показать, однако, что сингулярные числа у матриц АВ и В*А* всегда одни и те же.

20. Пусть X есть n-мерный случайный вектор, компоненты которого имеют нулевые математические ожидания и конечные дисперсии. Положим [см. (18.5.3*)]; мат­рицу Σ считаем невырожденной, полагаем и пусть А, В — заданные матрицы из Мп. Случайные векторы АХ и ВХ имеют одно и то же математическое ожидание (нулевой век­тор); однако нет оснований думать, что совпадают и соответ­ствующие ковариационные матрицы. Показать, что для равен­ства необходимо и достаточно, чтобы где — некоторая унитарная матрица. Указание. Если то Пусть ВР=RW— полярное разложение матрицы ВР с унитар­ной матрицей W; показать, что полярное разложение матрицы АР имеет вид AP = RV, где —некоторая унитарная матрица. Что можно сказать об R? Из доказанного вывести, что В какой степени определена мат­рица U? Что происходит, если А если

21. Рассмотреть матрицу следующего вида:

Показать, что характеристическим многочленом этой матрицы будет многочлен (Указание. Вычислить разложением по первому столбцу.) Показать, что собственными значениями матрицы Аε являются все п значений Показать, что сингулярные числа матрицы Аε равны 1 (с кратностью п— 1) и ε. Пусть теперь п = 10, ε = 10-10. Мы видим, что воз­мущение приводит к возмущениям собственных значе­ний, по абсолютной величине равным 0.1, в то время как син­гулярное число (наименьшее, так как сингулярные числа, равные 1, не меняются) изменилось всего лишь на 10-10. Чему равно спектральное число обусловленности матрицы Этот пример подтверждает высказывание, сопровождающее теорему 21.3.7: всякая матрица хорошо обусловлена относительно задачи опре­деления сингулярных чисел, хотя при этом может быть плохо обусловлена в отношении вычисления собственных значений,

22. Пусть — заданная матрица из Мп. Показать, что если у А имеется «малая строка» или «малый столбец», то у нее должно быть и «малое» сингулярное число. Более точно, пусть есть i-я строка матрицы А. Расположим евклидовы длины строк по возрастанию; упорядоченные значения обозначим через

Показать, что

и что справедливы аналогичные верхние оценки через нормы столбцов. Надо помнить при этом, что сингулярные числа упо­рядочены: Указание. Квадраты сингу­лярных чисел суть собственные значения эрмитовой матрицы АА*. Чему равны диагональные элементы матрицы АА*? Ис­пользовать соотношения мажоризации и теорему 18.3.26. Чтобы получить неравенства для столбцовых норм, рассмотреть мат­рицу А*А. Сравнить с задачей 19 из 18.3.

23. Имеется естественный аналог сингулярного разложения, в котором унитарные сомножители заменяются комплексными ортогональными. Однако в отличие от сингулярного такое раз­ложение можно построить не всегда; вспомним (задача 7 из 16.3), что и ортогональный аналог унитарной триангуляризации Шура не всегда осуществим. Предположим, что матрица может быть представлена в виде где — комплексные ортогональные матрицы, а «диагональна» в том смысле, что при Показать, что матрица. диагонализуема и В то же время эти два условия достаточны для существования указанного разложения Что можно сказать о случае, когда А вещественна? Привести при­мер матрицы которую нельзя представить в виде с комплексными ортогональными матрицами и диагональной матрицей