Дискретно-непрерывная математика (стр. 86 )

Доказать, что, беря произведение миноров образующих некоторую трансверсальную совокупность, со знаком того члена детерминанта, который содержит диагональные элементы этих миноров, и составляя алгебраическую сумму таких произ­ведений, распространенную на все трансверсальные совокупности миноров, расположен­ных в q группах сечений, мы получим данный детерминант (обобщение теоремы 3. 5, указанное Арменантом).

14. Распространить упражнение 13 на детерминанты любого числа измерений.

Модуль 25.

Операции над пространственными матрицами и их детерминантами

25.1. Сложение пространственных матриц. Умножение пространственной матрицы на число

1. Рассматривая основные операции над пространственными матрицами — сложение матриц, умножение матрицы на число и умножение матриц, — мы будем определять их в зависимости от операций над ассоциированными с этими матрицами полилинейными формами, заданными над некоторым числовым полем Р.

Пусть даны две трилинейные формы

с соответствующими кубическими матрицами

Формы F и F', зависящие от трех рядов переменных

тождественно равны друг другу, если у них число переменных в первом ряду, так же как и во втором и в третьем рядах, одно и то же и соответ­ственные коэффициенты одинаковы.

В связи с этим кубические матрицы А и А' называются тождественно равными, если они одного и того же порядка и их соответственные эле­менты одинаковы, т. е. если п=т и

Вообще, в соответствии с условиями тождественного равенства двух р-линейных форм

зависящих от р рядов переменных

мы называем р-мерные матрицы этих форм

тождественно равными, если они одного и того же порядка и их соответ­ственные элементы одинаковы, т. е. если п = т и

2. Сумма двух р-линейных форм

с соответствующими р-мерными матрицами п-го порядка

равна р-линейной форме

где

(1.1)

Соответствующая формер-мерная матрица п-го порядка

элементы которой определяются формулами (1.1), называется суммой матриц А и В. Операция нахождения суммы двух данных р-мерных матриц одного и того же порядка называется сложением этих матриц. Имеем, таким обра­зом, А + В = С.

Правило сложения двух пространственных матриц естественным образом распространяется на случай любого числа слагаемых.

Из определения сложения пространственных матриц непосредственно следует, что оно обладает коммутативным и ассоциативным свой­ствами:

где А, В, С —любые матрицы одного и того же числа измерений и одного и того же порядка над полем Р.

Кроме того, принимая во внимание определение нулевой пространствен­ной матрицы О, имеем:

3. Умножая р-линейную форму

с соответствующей р-мерной матрицей

на какое-нибудь число t из поля Р, получим форму

где

(1.2) Соответствующая форме Ф р-мерная матрица п-го порядка

элементы которой определяются формулами (1.2), называется произведением матрицы А на число t.

Имеем, таким образом, tA= В. В частности, если t = 1 или t = 0, то i∙A = A, 0∙A = O.

Из определения умножения пространственной матрицы на число выте­кают следующие свойства этой операции:

где А и В — произвольные матрицы одного и того же числа измерений и одного и того же порядка над полем Р, a t и и — числа из поля Р.

Первые два свойства связывают умножение пространственной матрицы на число со сложением пространственных матриц. Вводя обозначение

будем иметь также на основании указанных выше свойств:

Вместо А + (—В) будем сокращенно писать А — В и называть это выраже­ние разностью матриц А и В.

25.2. Умножение двух пространственных матриц

1. Подвергнем трилинейную форму

линейному преобразованию

(2.1')

с матрицей В результате получим трилинейную форму где

(2.2')

Точно так же, подвергая форму F линейному преобразованию

(2.1")

или

(2.1'")

с той же матрицей а, как у преобразования (2.1'), получим соответственно трилинейную форму или

где

(2.2")

(2.2'")

Кубическую матрицу п-ro порядка формы F' будем называть произведением по индексу i кубической матрицы п-го порядка формы F на квадратную матрицу того же порядка а линейного преобразования этой формы и обозначать через

Точно так же матрицу формы F" или матрицу формы F"′ будем соответственно называть произведением по индексу j или k матрицы А на а и обозначать через или

Таким образом, на основании формул (2.2'), (2.2"), (2.2'") имеем:

(2.3')

(2.3")

(2.3"′)

т. е. произведение по индексу v (v — любой из индексов i, j, k) кубической матрицы п-го порядка А на квадратную матрицу того же порядка а яв­ляется кубической матрицей n-го порядка, у которой μ-й эле­мент любой строки направления (v) есть произведение соответствующей строки матрицы А на μ-й столбец матрицы а.

Операцию нахождения произведения будем называть умножением по индексу v кубической матрицы А на квадратную матрицу а. (Для квадратных матриц очевидно,

где а' — транспонированная матрица относительно а.)

Для иллюстрации этого умножения приведем следующий пример. Пусть

Тогда