Дискретно-непрерывная математика (стр. 152 )

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ

Модуль 24.

П. 24.1

1.Показать сначала, что число m-кратных сечений матрицы равно

2. Доказываемое свойство следует из того, что число т-кратных сечений расширенной матрицы равно а сжатой

3. а) Главная диагональ Побочные диагонали:

или

8. Каждому сочетанию (из п элементов 1, 2, ..., п по р с повторениями) сопоставить сочетание (из п+р—1 элементов по р без повторений) Искомое число равно

9.

10. (при п < р все элементы матрицы равны нулю).

14. Показать сначала, что игде имеют одну и ту же четность.

16.

17.

18. Принять во внимание, что (р+ 1)-мерный перманент п-го порядка, у которого все элементы равны 1, имеет значение (п!)р.

П. 24.2

1. Разложить подстановку S в произведение транспозиций и использовать свой­ство II многомерных детерминантов.

14.

15. Умножить в рассматриваемом детерминанте каждое сечение (простое) какой-нибудь ориентации на —1 и принять во внимание свойства II и IV многомерных детер­минантов.

16. Представить многомерный детерминант на основании свойства VIII в виде суммы косигнатурных детерминантов с одночленными элементами сначала в первых сечениях какой-нибудь ориентации, затем во вторых и т. д.

П. 24.3

4. Использовать разложение р-мсрного детерминанта на алгебраическую сумму (р — 1)-мерных детерминантов.

5. Применить результат упражнения 4.

6. Воспользоваться результатом упражне­ния 5.

7. Примепить теорему 3.2.

9.

10. Пополнить в данном детерминанте сечения каждой ориентации v новыми парал­лельными им сечениями, все элементы которых равны нулю, кроме элементов, лежащих на главной диагонали и равных 1.

11. Предварительно рассмотреть кубический детерминант п-го порядка, в котором все элементы сечений одной и той же ориентации равпы нулю, кроме v3 эле­ментов, образующих кубическую матрицу v-гo порядка, и показать, что этот детер­минант равен произведению его единственного отличного от нуля минора v-гo порядка, расположенного в упомянутых выше v сечениях, на соответственное алгебраическое дополнение.

14. Показать, во-первых, что рассматриваемая сумма содержит члены данного детерминанта и, во-вторых, что число слагаемых в этой сумме равно

Модуль 25

П. 25.1

4. Принять во внимание, что всякий член детерминанта патрицы А есть сумма hn одночленов с одним и тем жо знаком и что каждый из этих одночленов является множителем в произведении миноров одной и только одной смешанной трансверсальной совокупности их, а каждое такое произведение состоит целиком из одночленов указан­ного типа.

П. 25.2

11. Использовать полное разложение многомерных детерминантов.

12. и т2 — числа, характеризующие род детерминантов).

13. Представить матрицу B в виде суммы п матриц и при­менить к детерминанту разложение Альбеджиани (упражнение 4, § 1), показав предварительно, что все миноры 2-го и высших порядков каждого из детерминантов равны нулю.

16. pq.

21. Использовать результат упражнения 20, полагая в нем и принимая во внимание, что

П. 25.3

4. Последовательно применять правило Скотта — Раиса умножения кубического детерминанта на квадратный.

8. Последовательно применять правило Кэли — Раиса умножения р-мерного детер­минанта на квадратный.

16. Применить 2v—2 раз правило Скотта —Раиса и один раз правило Кэли —Раиса.

где

П. 25.4

2. Операция равносильна цепочно симметрических элементарных преобразований по индексам

Операция

равносильна аналогичной цепочке симметрических элементарных

прeобразований.

§ 5

2. Применить результаты упражнений 13 и 14 § 3 гл. I.

4. Использовать обобщенную формулу Бине — Коши (упражнение 13 § 2).

6. Из результата упражнения 5 и теории обычных детерминантов следует, что

8. Показать предварительно, что можно получить из путем обращения порядка сочений (простых) каждой ориентации и умножения на —1 одних в тех же сечений (простых) каждой альтернативной ориентации.

Модуль 26

П. 26.1

3. Принять во внимание разложения кубического детерминанта (3.5) и (3.9) п.24.3 модуль 24.

4. Применить тот же метод, как и при доказательстве теоремы 1.2.

6. Использовать результат упражнения 5.

8. Принять во внимание необходимое и достаточное условно совместности системы пp-1 липейных уравнений с п неизвестными, устанавливаемое при помощи теоремы Кронекера — Капелли.

9. С помощью системы (1.1) составить (п!)p-2 систем линейных уравнений

так, чтобы каждая система состояла из n уравнений, у которых коэффициенты при неизвестных образуют двумерное трансверсальное сечение матрицы А, соответствующее направлению ip, и найти для каждого неизвостного этих систем значений выражения

Тогда корни уравнений (1.1) могут быть представлены в виде

где — число инверсий в перестановке, образуемой значениями индекса Числитель и знаменатель этой дроби являются полным разложением p-мерных детерминантов, входящих в выражение (1.2).