Дискретно-непрерывная математика (стр. 18 )

норма на то— абсолютная векторная норма на причем для всехи любой матрицы перестановки РМп.

Упражнение, Проверить непосредственно, что векторные нормы получаемые из евклидовой и спектральной норм,

обладают всеми шестью свойствами (21.4.17) — (21.4.22).

21.4.23. Определение. Функцияназывается сим­метричной калибровочной функцией, если она удовлетворяет требованиям (21.4.17) — (21.4.22), т. е. если она является абсолют­ной векторной нормой, инвариантной относительно перестано­вок компонент своего векторного аргумента.

Мы видели, что всякая унитарно инвариантная норма на порождает симметричную калибровочную функцию; верно и обратное. Следующая теорема утверж­дает, что функция на тогда и только тогда будет унитарно инвариантной нормой, когдаесть симметричная калибровочная функция сингулярных чисел матрицы А.

21.4.24.Теорема. Пусть — унитарно инвариантная норма на

и пустьесли или

если Определим функцию формулой

Тогда — симметричная калибровочная функция.

Обратно, если — заданная симметричная калибро-

вочная функция и отображениеопределено фор-

мулой где — сингулярные чис-

ла матрицы А, тоявляется унитарно инвариантной нормой

на

Доказательство. Первая часть утверждения уже доказана. Переходя ко второй части, заметим, что функция определена корректно, так как инвариантна относительно перестановок компонент аргумента. Поскольку множество сингуляр­ных чисел матрицы не меняется при унитарных преобразова­ниях, то для любых унитарных матриц Так как — векторная норма, тодля всех Равенство равносильно тому, что а это возможно в силу (21.4.18), лишь если все Но нулевая матрица — единственная, чьи сингулярные числа все равны нулю, поэтому функцияположительна (см. 15.1.1а). Она также однородна, поскольку а потому

То, что было сказано до сих пор, означает, что вся­кая функция порождаемая данным способом посредством симметричной калибровочной функции, является квазинормой на (см. 15.4). Остается показать, что функция удовлетворяет неравенству треугольника. Для этого мы докажем, что она двойственна к некоторой квазинорме и, следовательно, в действительности будет нормой.

Рассмотрим двойственную функцию для нормы на

(21.4.25)

Функция — всегда норма, так как — (квази) норма; более того, она является симметричной калибровочной функцией. Действительно,

(21.4.21′)

здесь использовано свойство (21.4.21). Итак, тоже удовлет-

воряет требованию (21.4.21). Аналогичное рассуждение показы­вает, что

(21.4.22′)

поскольку для выполнено (21.4.22).

Таким образом, на можно задать функцию ассо-

циированную с симметричной калибровочной функцией

где —сингулярные числа матрицы А. (Здесь мы

умышленно нарушаем соглашение об обозначениях: символ обычно используется для нормы, двойственной к мы же

пока не знаем, будет линормой. Однако мы покажем, что это действительно так и что определенная посредством

симметричной калибровочной функции двойственна к

То, что эта функция есть квазинорма на следует, согласно сказанному выше, из того, что она порождена симметричной калибровочной функцией

Вычислим теперь функцию, двойственную кв соответствии с определением 15.4.12 она обязательно будет нормой на Заметим, что матрица тогда и только тогда

удовлетворяет условию когда в ее сингулярном разложении матрица такова, что Фиксируя матрицу получаем

Для каждой диагональной матрицы Σ, подчиненной указанному условию, можно с помощью (21.4.14) найти максимальное зна­чение по всевозможным выборам унитарных матриц V, W: